2023-2024学年人教A版必修第二册 8-3-1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 学案.docx

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1、8.3简单几何体的表面积与体积8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积核心素养新课程标准解读1 .知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式直观想象2 .能用公式解决简单的实际问题数学运算G知识梳理读教材A基础落实高效学习此情境导入。金刚石是碳的结晶体，是目前自然界中存在的最硬物质，其形状除了具有规则的正八面体几何外形，还有六面体、十二面体等外形的晶体.金刚石经过切割、打磨等工序就能加工成五光十色，璀璨夺目的钻石.如图就是一块正八面体的钻石.问题如果已知该钻石的棱长，你能求出它的表面积吗？1新知初探。知识点一棱柱、棱椎、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、

2、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.筋想一想棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积都相等吗？提示：都相等.知识点二棱柱、棱锥、棱台的体积棱柱：棱柱的底面面积为S,高为/?,则V=Sh:棱锥：棱锥的底面面积为S,高为Zn则V=Bh；棱台：棱台的上、下底面面积分别为HS,高为九则V=（S，+夙+S）瓦侈想一想等底等高的棱柱和棱锥的体积有什么关系？提示：V=3Va.已做一做1 .若长方体的长、宽、高分别为3cm,4cm,5cm,则长方体的体积为()A.27cm3B.60cm3C.64cm3D.125cm3解析：BV长方体=3X4X5=60(cm3).2 .已知正四棱锥的底面边长为2,高为3

3、,则它的体积为()A.2B.4C.6D.12解析：B正四棱锥的底面积为2X2=4,贝帷积为:X4X3=4.3 .棱台的上、下底面面积分别是2,4,高为3,则棱台的体积为.解析：V=(2+43)3=i3(622)=6+22.答案：6+224 .正三棱柱的底面边长为1,侧棱长为2,则它的侧面积为,表面积为.解析：正三棱柱底面为正三角形，侧面为三个全等的矩形，所以侧面积为3X1X2=6;又SEWXIX所以它的表面积为6+理2242答案：66+日.G题型突破.析典例O-技法归纳活学活用柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积【例1】已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高为3,求它的表面积.解如图，设尸0=3,P

4、E是斜高,VS=25,岭BePE=2BC2,：BC=PE.在RtOE中，P0=3,OE=BC=PEt9+(y)2=PE?,PE=23.：S氐=BeQ=P产=(23)2=12,S倒=2S庄=2X12=24,S=S+5=12+24=36.通性通法1 .求多面体的表面积和侧面积二者不同，要分清二者区别.2 .棱锥或棱台的表面积计算常借助侧面三角形或梯形的高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角彩(或梯形)求解.Cf跟踪训练已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为3cm和6cm,高为?cm,求此正三棱台的表面积.解：如图所示，画出正三棱台ABGA山G,其中Oi,O分别

5、为正三棱台上、下底面的中心，D,Z)I分别为BC,SG的中点，则。为正三棱台的高，为侧面梯形3CG8的高，四边形O为直角梯形，所以。G=JoOf+(OD-O1D1)2=J()2+(3-y)2=3,所以此三棱台的表面积S表=S例+S底=3XX(36)3+3262=(Cm2).444题型二棱柱、棱锥、棱台的体积【例2】正四棱台的底面边长分别为20Cm和IOcm,侧面面积为780c11求其体积.解正四棱台的大致图形如图所示，其中ABl=IOCm,AB=20cm,取A的中点AB的中点E,连接EiE,则七E为斜高.设Oi,。分别是上、下底面的中心，连接01。，OiE1,0E,则四边形EOOiEl为直角梯

6、形.VSw=4(1020)XEEl=780(cm2),EEj=13cm.在直角梯形EooIEl中，OlEl=II8=5cm,OE=IB=IOcm,OO=J132-(10-5)2=12(Cm),该正四棱台的体积为V=IX(102+2021020)12=2800(cm3).通性通法求棱柱、棱锥、棱台的体积的方法(1)直接法：求几何体的体积首先要明确几何体的形状，确定要使用的公式，然后求得几何体的底面积与高，最后直接代入公式即可；(2)间接法：间接法求体积的实质是将待求体积的几何体与体积易求的几何体结合起来，将待求几何体的体积转化为两个或多个易求几何体的体积的和或差.口跟踪训练已知正六棱锥的底面面积

7、为6百，侧棱长为5,求这个棱锥的体积.解：如图所示的正六棱锥S-ABCOEF中，0是底面中心，SC=瓜S。为正六棱锥的高,设底面边长为0,则正六边形的面积为6X%2=6百，解得=2(负值舍去)，JOC=2,在RIASOC中，SO=JsC2-OC2=If,这个棱锥的体积V=X65x1=25.题型三简单组合体的表面积和体积【例3】一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位：米)，浇制一个这样的预制件需要约多少立方米的混凝土？(钢筋体积忽略不计,结果精确到OOl立方米).解将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体，设该预制件的体积为匕则=0.6X1.1X24.8N(

8、0.50.3)0.324.813.39,故浇制一个这样的预制件需要约13.39立方米混凝土.通性通法求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式.对于与棱柱、棱锥、棱台有关的组合体问题，要根据条件分清各个简单几何体的每个面是什么多边形，再利用相应多边形的面积公式求得面积.团跟踪训练如图，在棱长为。的正方体ABCz)-A/IGoIq1.截去三棱锥Al-A3D,求剩余的几何体AiBlCiDi-DBC的表面积和体积.解：由题意可知AABD是边长为I的等边三角形，其面积为TxXoXsin600=故所求几何体45Go1.DBC的表面积S=Smbd+35的+3S正方形ABIC

9、M=*+3X2X+3/=等/；几何体A囚Gd6C的体积V=V正方体ABCDT出q%一V三棱锥&-ABD=/_XXaXaXa=326园随堂检测.1.若正四棱台的上、下底面边长分别为1,2,高为2,则该正四棱台的体积为()a10r,7c14n1/AB-C-D.14333解析：CV=(S+S,s)=(14+Bc4)X2=葭.故选C.2 .在我国瓷器的历史上，六棱柱形的瓷器非常常见.已知有一个正六棱柱形状的瓷器笔筒，高为18.7cm,底面边长为7cm(数据为笔筒的外观数据)，现想用一层绒布将其侧面包裹住，忽略绒布的厚度，则至少需要的绒布的面积为()A.120cm2B.162.7cm2C.785.4cm

10、2D.l570.8cm2解析：C由题意得，正六棱柱的侧面积为6X718.7=785.4(cm2),所以至少需要的绒布的面积为785.4cm故选C.3 .过长方体一个顶点的三条棱长的比是1：2：3,体对角线的长是211,则这个长方体的体积是()A.6B.12C.24D.48解析：D设过长方体一个顶点的三条棱长分别为X,2x,3x,由体对角线长为2a15,则W+(2x)2+(3x)2=(214)2,解得=2.所以三条棱长分别为2,4,6.所以八方体=2X4X6=48.4 .由华裔建筑师贝聿铭设计的卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥(底面是正方形,侧棱长都相等的四棱锥)，四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21m,底宽34m,求该金字塔的体积.解：如图，在正四棱锥尸-ABC。中，PO_1.底面ABCZ),PO=2m,AB=34m,所以底面正方形的面积为34X34=11561112,则正四棱锥/488的体积为：乂115621=8092m3.