大学科目《线性代数》复习要点.docx

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1、线性代数知识点总结第一章行列式1 .N阶行歹!式：行列式中所有不同行、不同列的个元素的乘积的和1%1.=Z（-1严MgSjJ2jt,2 .行列式的性质：行列式与它的转置行列式相等对换行列式的两行（列），行列式变号行列式两行（列）完全相同，此行列式等于零行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数h等于用数2乘此行列式 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零 行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则它等于两个行列式之和 把行列式的某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去,行列式不变3 .行列式按行

2、（列）展开行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和X4由行列式的定义，F（X）=31X133x2-1,中V的系数为2%151X33.设D=T2.求行列式“-113O1-53D的（/,J）元的代数余子式记作人,求A2I+34,-2A,3+2A,40第二章矩阵及其运算1 .矩阵的运算加法，数乘，相乘，转置()=A6+=+(AB)r=B,Aryf方阵的行列式(IzIAl=A;IABl=IAll8|.)2 .特殊矩阵对称矩阵(A，=A)伴随矩阵(A4*=4*A=|AIE)正交矩阵(AA=Azf=E)相似矩阵(尸一么P=8)合同矩阵(PAP=B)3 .矩阵可逆的充要条件 A() A

3、B=E(BA=E)A-E存在有限个初等矩阵匕鸟,匕,使得A=IE）R=O有非零解），则称义为A的一个特征值，此时，非零解称为A的属于特征值4的特征向量。4+4+=fln+fl22+。，4,=a.若/1工0）是A的特征值，则?是AT的特征值，心是A”的特征值，奴团是例A）的特征值。定理2：设4,4,4是方阵A的6个特征向量，P2犷P,依次是与之对应的特征向量，如果4,4,4各不相等，则四,P2,P,线性无关。推论：设4和是方阵A的两个不同特征值，器晟1和7,小,7分别是对应于4和4的线性无关的特征向量，则统虞,，力,必，7线性无关。3 .相似矩阵A、B是N阶矩阵，若存在可逆矩阵P,满足P-4P=

4、8,则矩阵A与B相似。定理3：若阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与8的特征值亦相同。定理4：阶矩阵4与对角矩阵相似（即A能对角化）的充分必要条件是A有个线性无关的特征向量。推论：如果阶矩阵A的个特征值互不相等，则A与对角阵相似。4 .对称矩阵的对角化性质：设4和4是对称矩阵A的两个不同特征值，a，%是对应的特征向量，则A，小正交。定理5：设A是阶对称矩阵，则必有正交矩阵尸，使尸7AP=P/AP=A,其中A是以4的个特征值为对角元的对角矩阵。推论：设A是阶对称矩阵，是A的特征方程的左重根，则矩阵A-4E的秩R(A-E)=n-ky从而对应特征值4恰有k个线性无关的特征向量。5 .二次型及其标准形6 .正定二次型定理8n元二次型f=XrAx为正定的充要条件是：它的标准形的n个系数全为正,即它的规范形的个系数全为1,亦即它的正惯性指数等于。推论对称矩阵A为正定的充要条件是：A的特征值全为正定理9对称矩阵A为正定的充要条件是：A的各阶主子式都为正，A为负定的充要条件是：奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正。7 .若A的特征值为1,2,4,求A3-6A2+3A卜.234、8 .设矩阵A=O1O可相似对角化，求y=?Jy9 .用一个正交变换尢=尸兀将二次型/(x1,x2,x3)=4x12+考+x；-4xlx2+4xix3+Sx2X3化为标准形，并求出正交变换的矩阵.