3.51垂径定理—知识讲解(基础).docx

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1、【思路点拨】欲求CD的长，只要求出。0的半径r即可，可以连结OA,在RtZiAOD中，由勾股定理求出0A.【答案】D：解析】连0A,由垂径定理知AD=-B=3cm,2所以在RlKAQD中，AO=JD1+AD2=42+32=5(cm).所以DC=OC-OD=OA-OD=54=1(cm).i-l主要是解由半径、弦的一半和弦心距(圆心到弦的垂线段的长度)构成的直角三角形。举一反三:【变式】如图,0中，弦ABJ_弦CD于E,且AE=3cm,BE=5cm,求圆心0到弦CD距离。A.MP与RN的大小关系不定B.MP=RNC.MPRN【答案】B；【解析】比较线段MP与RN的大小关系，首先可通过测量揣测MP与

2、RN相等，而证明两条线段相等通常利用全等三角形，即证AONP经ZSONR,假如联想到垂径定理，可过。作OEJ_MN于E,JiPlME=NE,PE=RE,.ME-PE=NE-RE,即MP=RN.f在圆中，解有关弦的问避时，经常须要作“垂直于弦的直径”.举一反三：【变式】已知：如图，割线AC与ISlO交于点B、C,割线AD过圆心0.若圆0的半径是5,且ND4C=3O,AI=13.求弦BC的长.351垂径定理一学问讲解(基础)学习目标1.理解例的对称性；2 .驾驭垂径定理及其推论：3 .利用垂径定理及其推论进行筒洁的计算和证明.【要点梳理】学问点一、垂径定理1 .垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并

3、且平分弦所对的两条瓠.2 .推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠鼻：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即直径11平分弦事宜于弦j=平分弦所时的孤(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.学问点二、垂径定理的拓展依据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：(1)平分弦(该弦不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧：(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧：(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠杀在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优瓠、平分弦所对的劣弧,在这五个条件中

4、，知道随意两个，就能推出其他三个结论.(留意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径)【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明Cl.如图，AB是。的弦，半径OCJ_AB于点D,且AB=6cm.OD=4cm,则DC的长为()A.5cmB.2.5cmC.2cmD.1cm设弯路的半径为R,则OF=(R-90)m,VOECD.：.CF=1.CD=1.X600=300(m).22依据勾股定理，得：OC2=C卢H)FHURMOO3+(R-90)2,解得R=545,这段弯路的半径为545m.【点评】构造直角三角形，利用垂径定理、勾股定理,解题过程中运用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问

5、题的数学方法肯定要驾驭.举一反三，【变式】有一石拱桥的桥拱是圆孤形，如图所示，正常水位卜.水面宽AB=60m,水面到拱顶距离CD=18m,当洪水泛滥时,水面距拱顶不超过3m时拱桥就仃危急，现在水面宽MN=32m时是否须要实行紧急措施？请说明理由.【答案】不须要实行紧急措施设OA=R,在RtZXAOC中，AC=30,OC=OD-CD=R-18,R2=302+(R-18)、R2=900+R2-36R+324,解得R=34(m)连接0M,设DE=x,在RtZSVOE中，ME=16,342=16*+(34-x)2.-68x+256=0,解得x=4,xz=64(不合题意，舍),DE=4m3m.不需实行紧

6、急措施.【巩固练习】一、选择题1 .下列结论正确的是()B.直径是圆的对称轴D.与直径相交的直线是圆的对称轴A.经过圆心的直线是圆的对称轴C.与圆相交的直线是圆的对称轴2 .下列命题中错误的有().(2)平分弦的直径垂直于弦(4)圆的对称釉是直径C.3个D.4个CD是。0的弦，AB_1.CD于E,则图中不大于半圆的相等弧有().C.3对D.4对(1)弦的垂直平分线经过圆(3)梯形的对角线相互平分A.I个B.2个3 .如图所示.AB是。的直径，A.1对B.2对J6.类型二、垂径定理的综合应用3.如图1,某公园的一座石拱桥是圆邨形（劣弧），其跨度为24m,拱的半径为13m,则拱高为（）图1图2.5

7、mB.8mC.7mD.53m【思路点拨】解决此题的关键是将这样的实际问题转化为数学问题，即能够把题目中的已知条件和要求的问题转化为数学问题中的已知条件和问题.【答案】B；【解析】如图2,AB表示桥拱.弦AB的长表示桥的跨度，C为的中点，CDJ_AB于D,CD表示拱高，O为AB的同心，依据垂径定理的推论可知，C、D、。三点共线，且OC平分AB.在RtAAOD中，OA=13,AD=12,则ODOAAD。=13=12.25.：.0D=5,CD=OC-OD=13-5=8,即拱高为8m.【点评】在解答有关弓形问题时，首先应找弓形的弧所在圆的圆心，然后构造直角：角形，运用垂径定理（推论）及勾股定理求解.如

8、图，一条马路的转弯处是一段圆弧（即图中也，点0是也的圆心，其中CD=600m,E为令上一点，且OE_1.CD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径.【答案解析】如图，连接0C,15.如图所示，。的直径AB和弦CD交于E,已知AE=6cmEB=2cm,ZCEA=30.求CD的长.【答案与解析】一、选择题1 .【答案】A：【解析】图形的对称轴是直线，圆的对称轴是过圆心的直线，或直径所在的直线.2 .【答案】C：【解析】(1)正确：(2)“平分弦(该弦不是直径)的直径垂直于弦”才是正确的，所以(2)不正确;(3)对角我相互平分就是平行四边形，而不是梯形了，所以(3)不正确：(4)圆的对称轴是直径

9、所在的直线，所以(4)不正确.故选C3 .【答案】C；【解析】AB=AB.AC=AD.BC=BD.4 .【答案】D：【解析】先求AC=22-12=6.再求AB=2AC=23.5 .如图所示，矩形ABCD与0相交于M、N、F、E,若AM=2,DE=I,EF=8,则MN的长为（）A.2B.4C.6D.86 .已知。0的直径AB=I2cm,P为OB中点，过P作弦CD与AB相交成30角，则弦CD的长为A.3-V5cmB.3yf0cmC.35cmD.3T3cm二、填空题7 .垂直于弦的直径的性质定理是8 .平分的直径_于弦，并且平分9 .圆的半径为5c,回心到弦49的距离为4cm,则H小cm.10 .如

10、图，CI）为。O的直径，ABlCDFE,DE=8cm,CE=2cm,则AB=_cm.12.如图，AB为。的弦，AOB=90,AB=af则oA-.。点到AB的距离-三、解答题13 .如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度为60米，拱高18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，要实行紧急措施,若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时是否要实行紧急措施？14 .如图所示，AB是OO的直径，弦CDJ_AB于点P,CD=IOcm.AP:PB=I:5,求OO半径.XVZCEA=30OF=Icn,RICOF,由勾股定理得CTr=而cm,：.CD=2Ji5cm。5 .【答案】C5【解析】过。作OHCD并延长，交AB于P,

11、易得DH=5,而AM=2,MP=3,MN=2MP=2X3=6.6 .【答案】A；【解析】作OHJ_CDH,连接01),则Ska,0D=6,可求DH=K,CD=2DH-3JJ.22二、填空悬7 .【答案】垂直于弦的直径平分弦，并11平分弦所对的两条弧.8 .【答案】弦(不是直径)，垂直于，弦所对的两条瓠.9 .【答案】6：10 .【答案】8：11 .【答案】63,120：2I12 .【答案】一4,-a；22三、解答题13 .【答案与解析】设圆孤所在圆的半径为R,则RJ(RT8)=30R=34当拱顶高水面4米时，2342-302=3230,不用实行紧急措淹.14 .【答案与解析】连结OG设AP=k,PB=5k,：AB为0直径，.,.半径OC=!48=-(AP+P)=-(+5)=3Jl.222且0P=0A-PA=3k-k=2k.VAB_1.CD于P,/.CP=-CD=5.2在RtCOP中用勾股定理，有OC2=PC2+PO2,：.(3)2=52+(2)2.即522=25,/.A=J取正根),半径OC=3k=3J?(cnO.15 .【答案与解析】作OFj_CD于F,连结OC,如图,.,AE=6cm,EB=2cm.,.AB=8cmf.,.0C=0B=4cm,贝0E=2cb,