常微分方程的基本概念.docx

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1、考点：常微分方程的基本概念【】1 微分方程：含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程.若未知函数是一元函数，则称为常微分方程；若未知函数是多元函数，则称为偏微分方程.考SS链接：例:y*=x,y*+X3y=2,xdy+yclx=O2阶：未知函数的最高阶导数的阶数.考题链接：例：微分方程+)(-心=O的阶数是()A.1B.2C.3D.43.性微分方程：Z(x)-y+(x)+2(x)+.+/,(x)-yw=/()考题链接：例：判断下列函数是否为线性方程.(O+(2)y=A2+y+sinx(3)yr-A-l-siny=0(4) y,-yy*=(5) (y=3x+y4.解：若y=白口代入方程成为恒等

2、式，则称y=3为方程的一个解.(1)通解：含有相互独立(不能合并，)，=6+02工与y=+)的任意常数,且任意常数的个数与方程的阶数相同的微分方程的解.(2)特解：不含任意常数的解.例1:某二阶常微分方程的下列解中为通解的是()C. y=sinx+cosxD. y=(C,+C2)c0sxA.y=inxB.y=6,fsinx+C,cosa,例2:函数y=Csinx(其中C为任意常数)是微分方程+y=0的OA.通解B.特解C.解D.不是解例3:已知微分方程y,+ay=e的一个特解为y=xdt,Pl1,a=考点：可分离变量的微分方程【】1)标准形式：/(y)dy=g(x)dx(2)解法：分离变量，化

3、为标准形式；两边同时积分.例1：微分方程-+C=0的通解是OyA.x2+y2=25B.3x+4y=CC.父+寸=CD./-X2=7(列2:方程sec2tanyd+sec2ytanx=(x)(非齐次)若y()是的通解，/(X)是的特解，则r()+()为的通解.2 写出特解形式4O兄不是特征根若y()=S()/“，特解形式应设为二兀乜(人片，其中打I几是单根2兄是重根例1.用待定系数法求方程y”-4F+4y=(2x+l)0的特解时，特解应设为.例2.微分方程yly-2y=X严的特解用特定系数法可设为()A.大二x(ax-b)eFB.才=父(axb)e1C.y=(Qb)kDy*=axe例3.微分方程

4、y+y=段的特解形式应设为二()A.+厂B.ax+bC(Q+b)严D-F(Or+b)严例4.对于微分方程_y*-2y=x2利用待定系数法求特解y时，下列特解设法正确的是0A.才=+bx+cB.y*=寸(Vd+hx+c)Cy*=x(ax+/?)D/=x(av2+Zzx+c)若Fe=QCoSa)X4-Dsinae”,特解形式应设为y*=a*(Acosty.+Bsincox)e，,其二Acoi不是特征根1Acoi是特征根考题链接：例1：微分方程y*y=sinx+cosx特解形式应设为_/=例2:微分方程y*,3y,+2y=eosx特解形式应设为/=(A.CScosXB.e,(Ccosx+C,sinA

5、)C.(Ccos-C2sina)D.,e,(C,cosx+C2sinA)3求通解 求出与其对应的齐次方程*+py*+qy=0的通解Y; 利用待定系数法求出非齐次的一个特解）；写出非齐次的通解y=Y+y.(X)型解法：作”次不定积分考题链接：例：微分方程*=24x通解为2.=(x,y)型解法：令y=P,两边对X求导，,“二,然后代入原方程，转化为一阶微分方程求解.例：微分方程+y=的通解为.3-=(yV)型解法：令/=/；,两边对X求导，什业二也虫二P也然后代入原方程,转化dx(Iydxdy为一阶微分方程求解.例：求微分方程y-()2=O的通解.考点：二阶常系数齐次线性微分方程【】1 解的结构定

6、理：若x(x),),2(x)都是方程y+p(x)y，+”(x)y=O的解，则线性组合C也区(GC*为任意常数)仍为它的解若y,(A儿(勿线性无关(儿工辎(”0),则c+c*2为它的通解.2 求通解：写出相应的特征方程厂+/g=0求出特征根Vl写出通解.通解形式：不同实根“牛，y=+G严重根斤二乙=八y二Clrerr+Csx共IE复根r12=api,y=du(C,cosfix+Gsinfix)例1:微分方程/+2/+y=O的通解为()B-G+q严D.(C1+Gx)e-j,C.C(-fC2e例2:微分方程A4y=0的通解为()A.y=Cx+C严B,y=(C,+C2x)FCy=G+C点D.y=Gco

7、s2a+Gsin2x例3:求微分方程2空+4空+3y=0的通解.dx(Ix3已知通解，反求微分方程找出特征根；写出特征方程；写出微分方程.考题链接：例1：通解为=C,+C2(为任意常数)的二阶线性常系数齐次微分方程为例2.以y=为通解的二阶常系数线性齐次微分方程为考点：空间直角坐标系【】1 空间直角坐标系三个坐标轴：X轴（横轴），尹轴（纵轴），Z轴（竖轴），它们的正向满足右手法则三个坐标平面八个卦限2 .空间内点的坐标（x,z）（1） 坐标轴上的点：X轴（x,0,0）,y轴（0,%0）,Z轴（0,0,Z）（2） 坐标平面上的点：X0；平面（兀，y,0）,yz-面（0,%z）,xZ平面（x,0,

8、z）3两点间的距离MJ_vzj,A/：（XzJ1.阿函J=-x+（儿一）J+（E-zJ考点：向量的概念【】（1） 向量的定义：既有大小又有方向的量.（2） 向量的表示方法坐标表不：二（2)和B(1,3,0)计算向量AP的模、方向余弦和左向角.例2：下列各组角中，可以作为向量的一组方向角的是()a7t7T2jl.9446TCJ1.x-ff-433nrvTCJT7t717C龙J0-99一f432434考点：向量的线性运算【】(1)“土b=yaba,(2)4u=(入心加、，入I)9久“与平行.定理：Z0b=20*=奴乞竹6考题链接：例：已知向量Zx=5,兀-2和/；=”6,4平行，则X和y的值分别为

9、两向量的夹角余弦:COSe=HW(1) 定义：ab=abcosa,h=aZ?cos6(2)计算：ab=axbx+o、九+a.例:已知向量fl=1,1,2和Zx=2,-l.l的夹角为例2:已知向量2=012和/；=2,0,1的夹角为(3)性质：ab-ba(4)充要条件：ab=0ciJ1.考点：向量的向量积（叉积、外积）（1）定义：c=axb 大小：Xb=方sin0几何意义：以NZX为邻边的平行四边形的面积. 方向：2_6,2_1方，且C之力C满足右手法则.（2）计算：ijk%当Shg例1:设a=2_1.-1/=1,一1,2,贝axh=例2:若方=0_1.1力=101l=l,l-0,则(Nx5)-

10、2=,例3:由方二1.0,1/=O_1.2为邻边构成的平行四边形的面积为例4：已知点A(4.-1.2),3(12-2),C(2,0,1),求AABC的面积.(3)性质：核;=Oaxb-bxa考题链接：例：对任意两向量亦；，下列等式不恒成立的是()i*fBub-baD.ab)+(axb)=alfAffa+h=h+aaxb=6ab*.Caxb=hxa考点：2在ZX上的投影【】(4)充要条件：例：向量2=1,1,2在/；=0.3,4上的投影为2在仆的投影：B/=HCs=W-4口4-1 球面球心在点(和y。，Zo),半径为人的球面方程为(X-兀+(yy0)+(z-Zo)2=V球面的一般方程：A攵+Ay

11、+A胃+D.x+Ey+Fz+G=0球面方程特点：三元二次方程，缺交叉项平方项系数相同.2 柱面柱面：直线(母线)沿着定曲线(准线)平行移动所产生的曲面.柱面方程特点：二元方程.考题链接：例1：方程2A-2y2=1表示的二次曲面是OA.球面B.族转抛物面C.柱面D.圆锥面例2：下列方程在空间直角坐标系中所表示图形为柱面的是O2J.A.+=v2B.z-=-21.7344212C.=1D.x2+/-2a=041693 .旋转曲面(1)坐标面内的曲线绕某坐标轴旋转，得到的旋转曲面的方程为：该坐标轴对应的变量不变，而另一变量改成该变量与第三个变量平方和的正负平方根.平面上的曲线PW,Z=O绕X轴旅转得到的曲面方程为：/(x77)=o绕丁轴族转得到的曲面方程为：/(i777,y)=Oyz平面上的曲线绕y轴旅转得到的曲面方程为：/(77+?)=0绕Z轴旋转得到的曲面方程为：/（后不Z）=O兀6平面上的曲线P（，2）=,y=0绕X轴族转得到的曲面方程为：/卜，士何7）=0绕Z轴旋转得到的曲面方程为：/（启孑，十022例1：双曲线T.rI绕Z轴旋转所成的曲面方程为（y=0D.34例2：曲线ZXf为绕X轴旋转一周所形成的旋转曲面方