4、费马点、利用旋转变换求线段和最值T.docx

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1、例5、(衢州市)如图，已知点4(-4,8)和点夕(2,力在抛物线y=0上.(1)求&的值及点6关于X轴对称点尸的坐标，并在X轴上找一点。，使得力行Q8最短，求出点。的坐标；(2)平移抛物线)，=奴2,记平移后点力的对应点为4，点8的对应点为8,点C(-2,0)和点(-4,0)是X轴上的两个定点. 当抛物线向左平移到某个位置时，Afac,最短，求此时抛物线的函数解析式； 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形B,切的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由.14年1月石景山期末6.已知点A(2,-2)和点B(-4,n)在抛物线y=ax2(a0)上.(1)求

2、。的值及点8的坐标；(2)点尸在y轴上，且满意aA8P是以AB为直角边的直角三角形，求点P的坐标；(3)平移抛物线丁二以2(。工0),记平移后点力的对应点为A,点8的对应点为3.点(2,0)在X轴上，当抛物线向右平移到某个位置时，A1+8最短，求此时抛物线的函数解析式.练习1、(达州)15、如图6,在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ,则aPBQ周长的最小值为cm(结果不取近似值).田6(第&题图)2.如图所示，正方形A5C。的面积为12,Zv1.BE是等边三角形，点E在正方形ABCO内，在对角线AC上C.3D.6有一点尸，使PD+庄的

3、和最小，则这个最小值为().23B.263、滨州市中考第24题如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=af+c经过力(-2,-4)、0(0,0)、8(2,0)三点.(1)求抛物线y=af+c的解析式；(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点，求和什V的最小值.4、山西省中考第26题如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=-+2x+3与X轴交于力、5两点，与y轴交于点G点是抛物线的顶点.(1)求直线47的解析式及反两点的坐标；(2)点是X轴上的一个动点，过作直线/4。交抛物线于点0.摸索究：随着点尸的运动，在抛物线上是否存在点。，使以40、。为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请干脆写出符合条件的点。的

4、坐标；若不存在，请说明理由；(3)请在直线4。上找一点.机使AHZM的周长最小，求出点.的坐标.图1满分解答yz5 .(年山东聊城)己知AABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20.(1)写出aABC的面积y与BC的长X之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；(2)当BC多长时，AABC的面积最大？最大面积是多少？(3)当AABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？假如存在，请说出理由，并求出其最小周长；假如不存在，请赐予说明.6 .(江苏苏州)如图，在平面直角坐标系中，Rt()AB的顶点A在X轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3,3),点C的坐标为(!,0),点P为斜边OB上的一动点，

5、则PA+PC的最小值为【】2A.叵B.典223+197 .(已知点D与点A(8,0),B(0,6),C(a,-a)是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为.8 .如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2,AE=3BE,P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是9.如图，抛物线y=ax=bx+c(aWO)的图象过点C(O,1),顶点为Q(2,3),点D在X轴正半轴上，且OD=OC.(1)求直线CD的解析式；(2)求抛物线的解析式；(3)将直线CD绕点C逆时针方向旋转45所得直线与抛物线相交于另一点E,求证：ACEQsCDO;(4)在(3)的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段

6、OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中,PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.一、费马点、利用旋转变换求线段和最值费马点方编辑本段费马点定义K在个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边I形的费马点。I在平面三角形中：I(1) .三内角皆小于120。的三角形，分别以AB,BC,CA,为边，I向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接/AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.As-I/(2) .若三角形有一内角大于或等于120度测此钝角的顶点就I/是所求./(3)当AABC为等边三角形时,此时外心与费马点重

7、合/(1)等边三角形中BP=PC=PA,BP、PC、PA分别为三角I/形三边上的高和中线、三角上的角分线。是内切圆和外切圆的中心。X、BPCCPAPBAo(2)当BC=BA但CAAB时，BP为三角形CA上的高和中线、三角上的角分线。编辑本段证明(1)费马点对边的张角为120度。 CC1B和4AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,ZCBC1=ZB+60度=NABA1, CC1B和4AA1B是全等三角形,得到NPCB=NPAlB同理可得NCBP=NCAIP由NPAlB+NCA1P=60度，得NPCB+NCBP=60度,所以NCPB=I20度同理,NAPB=120度，NAPC=I20度PA+PB+

8、PC=AA1将ABPC以点B为旋转中心旋转60度与aBDA1重合，连结PD,则4PDB为等边三角形，所以NBPD=60度又NBPA=I20度，因此A、P、D三点在同始终线上，又NCPB=NAIDB=120度，NPDB=60度，NPDAl=180度，所以A、P、D、A1四点在同始终线上，fcPA+PB+PC=AA1oPA+PB+PC最短在AABC内随意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM,将aBMC以点B为旋转中心旋转60度与aBGA1重合，连结AM、GM、A1G（MJ）,则AAlVAlG+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A、B、C的距离最短。平面四边型费马点平面四边

9、型中费马点证明相对于三角型中较为简易，也较简单探讨。（1）在凸四边型ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点Pc（2）在凹四边型ABCD中，费马点为凹顶点D（P）。7 （自编）已知O点坐标为（0,0）,A点坐标为（8,0）,B点坐标为（0,8）,在平面直角坐标系上确定点P,使OP+AP+BP最小。并求出点P坐标和OP+AP+BP的最小值。8 .（自编）已知O点坐标为（0,0）,A点坐标为（5,0）,B点坐标为（3,-3）,在平面直角坐标系上确定点P,使22OP+AP+BP最小。并求出点P坐标和OP+AP+BP的最小值。9、若P为AABC所在平面上一点，且NA尸3=NBPC=NCPA=120,

10、则点P叫做AABC的费马点.若点P为锐角AABC的费马点,且NA5C=60,=3,PC=4,则依的值为；（2）如图，在锐角AAbC外侧作等边AACB连结班，.求证：BB过4A5C的费马点P,且BB=PA+PB+PC.At有关费马点最值问题23.（09年湖州）若P为aNBC所在平面上一点，且乙4PB=NBPC=NCP4=120则点P叫做BC的费马点.（1）若点P为锐角A4BC的费马点，且N43C=60,PA=3,PC=4,则尸B的值为（2）如图，在锐角力BC外侧作等边44CB连结求证：B夕过彳BC的费马点P,且BB=P4+PB+PC.JKX724.（10福建宁德）如图，四边形ABCD是正方形，A

11、ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60。得到BN，连接EN、AM、CM.求证：ZAMBWZENB;当M点在何处时，AM+CM的值最小；当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；当AMBM+CM的最小值为也+1时,求正方形的边长.BC25.如图，在平面直角坐标系XO），中，点B的坐标为（0,2）,点。在X轴的正半轴上，NO8=30,OE为丛8。的中线，过3、E两点的抛物线y=02+且x+c与X轴相交于A、尸两点（A在尸的左侧）.6（1）求抛物线的解析式；（2）等边。脑V的顶点M、N在线段4七上，求AE1及AW的长;（备用图）（3）点P为A

12、ABO内的一个动点，设m=7+P8+PO,请干脆写出团的最小值，以及俄取得最小值时，线段AP的长.13通州24.已知：AO=2，80=4,以48为一边作等边三角形ABC使C、O两点落在直线48的两侧.1）如图，当/408=60时，求AB及CO的长；（2）当NAQB改变，且其它条件不变时，求C。的最大值，及相应NAOB的大小.I房山28.如图1,已知线段50=2,点8关于直线AC的对称点是点Q,点E为射线CA上一点，且EO=BQ,顺时针旋转Q线段PM长度的连接OE,BE.(1)依题意补全图1,并证明：ABDE为等边三角形;(2)若NAC8=45。，点C关于直线BD的对称点为点F,连接FD、FB.将ACDE绕点D度(0。360。)得到CDE,点E的对应点为E,点C的对应点为点C.如图2,当q=30。时，连接8C.证明：EF=BC；如图3,点M为Z)C中点，点P为线段CZ上的随意一点，摸索究：在此旋转过程中,取值范围？2顺义28.如图，AABC中,A=ACt点户是三角形右外一点，艮/APB=/ABC.(1)如图1,若/小60,点。恰巧在/力比的平分线上，PA=2,求知的长;(2)如图2,若N/小60,探究必，PB,AC的数量关系，并证明；(3)如图3,若/协田120,请干脆写出四，PB,PC的数量关系.图1图2图3