微专题32 周期性与双对称问题（解析版）.docx

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1、微专题32周期性与双对称问题【方法技巧与总结】1、周期性技巧函数式满足关系(XeR)周期f(x+T)=fMTf(x+T)=-f(x)2Tfx+T)=;/*+7)=/()Fa)2Tf(x+T)=f(X-T)2Tf(x+T)=-f(X-T)47ff(a+x)=f(a-x)f(h+x)=f(b-x)2(b-a)f(a+x)f(a-x)/(幻为偶函数2af(a+x)=-f(a-x)f(b+x)=-f(b-x)2(h-a)f(a+x)=-f(a-x)/(X)为奇函数2af(a+x)=f(a-x)f(b+x)=-f(b-x)4(b-a)ff(a+x)=fa-x)/3)为奇函数4f(a+x)=-f(a-x)

2、/(X)为偶函数4a2、函数的的对称性与周期性的关系(1)若函数y=f(x)有两条对称轴x=,X=ba-);(2)若函数y=(x)的图象有两个对称中心(,c),S,c)(勿，则函数y=(x)是周期函数，且T2(b-a);(3)若函数y=f(x)有一条对称轴x=和一个对称中心(b,O)(0)x0,1时，fx)=X,若函数g(x)=-2,则函数y=(x)-g(x)在区间-11,11上的零点的个数是()A.18B.19C.20D.21【解析】解：令X=X+1,由/(1+x)=/(1-x).得至If(x+2)=(l-x-l)=/()，.f(-x)=f(x)，A/(x+2)=(x)，./(x)为以2为周

3、期的周期函数，X01时，f(x)=x当X引-1,01，f(X)=-X,作出函数/(X)与g()的图象，由图象可知，两个图象有19个交点，即函数y=(x)-g(x)在区间-11,11上零点的个数是19个.例2.定义在R上的函数y=(x)满足以下三个条件：对于任意的实数XR,都有/(2+x)+(2-x)=0成立；函数y=(x+l)的图象关于轴对称：对任意的X,x20,1,x12,Px1/(x1)+x2f(2)xf(2)+x2()则/(2021),/(2022),f(2O23)的大小关系为()A./(2021)/(2023)/(2O22)B./(2O21)/(2O22)/(2023)C./(2O23

4、)/(2O22)/(2021)D./(2O22)/(2021)/(2O23)【解析】解：.,对于任意的实数xR,都有f(2+x)+(2-x)=0成立，函数y=/(x)的图象关于(2,0)成中心对称；又函数y=f(x+l)为偶函数，/./(x)的图象关于X=I对称，即/(2T)=f(x)t.f(2+x)=-f(x),用2+x替换X,得/(4+x)=F(X),即函数的周期丁=4；又对任意的七，201x1x2都有Xj(X)+2(X2)Mf(X2)+/(芭)成立，即Xx,x20,1,XlWX2,PW(x1-x2)(xi)-(2)0,.y=/(X)在0,1上单调递增,由0得函数y=/(x)的图象如下：由

5、图知，f(1)/(2)/(3),/,/(2021)/(2022)/(2023),故选：B.例3.己知/)为定义在A上的偶函数，当X例时,W(x+l)=-,且当x0,1)时,/(x)=log2(x+l),给出下列命题：(2OI4)+/(-2015)=0；函数f(x)在定义域上是周期为2的函数；直线y=X与函数/(X)的图象有2个交点；函数f(x)的值域为(-1J).其中正确的是()A.B.C.D.【解析】解：/(X)为定义在R匕的偶函数,且当工.0时，有+i)=-(x),且当x0,1)时，/(x)=log2(x+l),故函数/(#的图象如下图所示：由图可得：/(2014)+(-2015)=0+0

6、=0,故正确；函数/(%)在定义域上不是周期函数，故错误；直线y=x与函数f(x)的图象有1个交点，故错误；函数的值域为故正确：故正确的命题序号有：故选：C.变式1.(多选题)已知定义在R上的奇函数f(x),满足对任意的XwR,都有/(2+x)=(-x)成立，且当旗Ik1时，/(x)=x,那么下列说法中正确的有()A.函数/(x)为周期函数B.函数/(x)的对称中心为点(攵，O)(AZ)C.当滕*4时，函数/*)的图象与X轴围成的图形的面积为2D.f(1)+/(2)+f(3)+.+/(2021)=1【解析】解：/*)为奇函数，/(x+2)=(-x),.(x+2)=-Jfa),又:Kx+4)=-

7、f(x+2),.J(x+4)=(x),.函数/(x)的周期为4,.A1E确，f(x+2)=(),.函数f(x)的对称轴为X=I,.点(1,0)不是对称中心，.8错误，当够/1时，f(x)=xt：.f(1)=1.f(3)=/(-1)=-1,函数f(x)的周期为4,.f(2)=/(-2)=0,f(4)=/(0)=0,:.f(1)+/(2)+f(3)+.+/(2021)=505/(1)/(2)+/(3)+/(4)+f(1)=1,.O正确，函数的大致图象如下:.当既k4时，函数/(用的图象与X轴围成的图形的面积为1.1x2x2=2,.CE确.2故选：ACD.av+1,-1,0变式2设/(x)是定义在R

8、上且周期为2的函数，在区间-1上,小)=也腐1其中,x+1a，bwR,则/(1)=-,若/()=/(),则+劝的值为Or+1.T,x0【解析】解：因为在区间一1,1上，f(x)=bx+21+l所以/(1)=；+；=b；2(或/(1)=f(-)=i-):11又知道q)=f(/,而/(|)=1一1=/($=，由(1)得2,+b=0，联立得所以+3b=2+(-12)=T0,故答案为：匕上(或1-)，-10.2变式3.已知tan(x+)=+tan*,可知函数y=lanx的一个周期为万.类比上述结论，设。为正常41-tanx数，且/a+。)=三恪，则函数y=(x)的一个周期为_4a_.【解析】解：,ta

9、n(x+)=+tan.可知函数y=tanx的一个周期为7.41-tanx设为正常数，且+)=t2，1-zU)1,.,/u+2,)=11Z(1)=izZJ4=_2_=_1.-f(x+a)11/(x)-2(x)/(x)-/U+4。)=1-=/(X)/(+2)17故函数y=/(x)的一个周期为40.故答案为：4a.变式4设/*)是周期为4的奇函数，当骐Jr1时，/(x)=xl+x),贝J=【解析解：由题意可得，f()=f()=f(4)=f()=(1+)=X.22222222故答案为：-之.4变式5.设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若函数/(x)=x+g(x)在区间3,4上的值域为-2,5,

10、则/在区间-10,10上的值域为【解析】解：法一：g(x)为R上周期为1的函数,则g()=g(%+D又函数f(x)=x+g(x)在3,4的值域是-2,5令x+6=r,当xe3,4时，F=X+6e9,10此时，f(r)=f+g(O=(x+6)+g(x+6)=(x+6)+g(x)=x+g(x)+6所以，在te9,10时，/(r)4,11.(1)同理，令x-13=f,在当x3,4时，r=x-13-10,-9此时，/Q)=+g)=(x-13)+g(x-13)=(x-13)+g(x)=x+g(x)-13所以，当才T0,-9时，/(r)-15,-8.(2)由(1)(2)得到,Fa)在T0,10上的值域为T

11、5,11故答案为：-15,11法二：由题意/(x)-X=g(x)在R上成立ift(xl)-(x+l)=(x+l)所以f(x+l)-(x)=l由此知自变量增大1,函数值也增大1故f(x)在-10,10上的值域为-15,11故答案为：-15,11题型二：双对称函数的周期性例4.己知定义在R上的函数/*)满足/()=-(x),/(l+)=(l-),当0,l时，f(x)=2xt则f(2017)+/(2016)=()A.OB.1C.2D.3【解析】解：.定义在A上的函数/(x)满足/(T)=-/，函数/(x)为奇函数，又.(l+)=(l-),可得f+1)=/(r-1),即为+2)=-(x),即有f3+4

12、)=-f0+2)=),函数F(X)为周期为4的周期函数，/,/(2017)=/(5044+1)=/(1),由当0v41时，/(x)=2v,可得/(1)=2,由/(2016)=/(5044)=/(0)=0,则/(2017)+/(2016)=/(1)+/(0)=2.故选：C.例5.已知定义在R上的函数/(x)满足/(2-x)=-f(x),且f(x-2)=f(-幻，当x(-l,l)时,/(X)=X2+1，则/(2020)=()A.-1B.0C.1D.2【解析】解：由函数满足/(2x)=-(x),可知/Q)的对称中心为。,0),因为/(x-2)=(-x),可知/(x)的对称轴为“=-1,所以可得Jf(X)的周期为8,所以/(2020)=/(4),由已知函数/(x)满足/(2-幻=一/(X),令x=4,f(-2)=-f(4),由已知/(x2)=/(x),令K=0,/(-2)=/(0)=1,所以/(4)=-1.故选：A.例6.定义在R上的函数/(x)满足/(4一X)=/*),f(2-x)=-f(x)f且当xe0,2时，/(X)=X-B则/(2011)=()A.0B.1C.2D.3【解析】解：若定义在R上的函数/(%)满足/(4-力=/(“),则函数的图象关于直线x=2对称若定义在R上的函数/(x)满足f(2-x)=-f(x),则函数的