01背包问题.docx

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1、转自：背包问题九讲Ol背包问题题目有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是ci,价值是wi.求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。基本思路这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。用子问题定义状态：即fiM表示前i件物品恰放入一个容量为V的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：fiv=maxfi-lvJi-lv-ci+wi这个方程特别重要，基本上全部跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它具体说明一下：”将前i件物品放入容量为V的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i1.件物品的问题。

2、假如不放第i件物品，那么问题就转化为“前il件物品放入容量为V的背包中”，价值为fi-lv;假如放第i件物品，那么问题就转化为“前il件物品放入剩下的容量为vci的背包中”，此时能获得的最大价值就是fi-lv-ci再加上通过放入第i件物品获得的价值wiweight分别表明这件物品的费用和价值。procedureZeroOnePack(CostzWeight)forv=V.costfv=maxfvJv-cost+weight留意这个过程里的处理与前面给出的伪代码有所不同。前面的示例程序写成v=V.0是为了在程序中体现每个状态都根据方程求解了，避开不必要的思维困难度。而这里既然已经抽象成看作黑箱的

3、过程了，就可以加入优化。费用为COSt的物品不会影响状态f0.COSt-1,这是明显的。有了这个过程以后，Ol背包问题的伪代码就可以这样写：fori=l.NZeroOnePack(cizwi);初始化的细微环节问题我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必需把背包装满。一种区分这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。假如是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f0为0其它fiV均设为8,这样就可以保证最终得到的fN是一种恰好装满背包的最优解。假如并没有要求必需把背包装满，而是只希望价格尽量大，初

4、始化时应当将f0M全部设为Oo为什么呢？可以这样理解：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。假如要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应当是8了。假如背包并非必需被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0,所以初始时状态的值也就全部为。了。这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题,后面也就不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解。小结Ol背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想，另外，别的类型的背包问题往往也可以转换成Ol背包问题求解。故确定要细致体会上面基本思路的得出方法，状态转移方程的意义，以及最终怎样优化的空间困难度。