点集拓扑试题.docx

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1、i、设=m,c,下列集族中，X上的拓扑是（）.T=X,0,b,cTX,a,a9b,a,cT=X,与,4,cT=X0,力,c2、已知X=a,瓦c,d,拓扑T=X,0,4,则面二（）0Xb,c,d3、设X=,b,c,拓扑T=X,0,4,dc,则X的既开又闭的非空真子集的个数为（）12344、在实数空间中，有理数集。的边界8（。）是（）。QR-QR5、在实数空间中，区间。1）的内部是（）。0,1（0,1）6、设X是一个拓扑空间，AtB是X的子集,则下列关系中错误的是（）d（Ao,使得当iN时，XiEU;同理存在可20,使得当iM时，xjeV3分令N=maxN,N2,则当iN时，xjUnV,从而UnV

2、i矛盾，故xj的极限点唯一.6分4、证明：设C是7；空间X中的一个连通子集，如果C不只包含一个点，任意选取乂了。了工丁.对于7；空间X中的两个无交的闭集x,y，应用Urysohn引理可见，存在一个连续映射了:X0,l,使得/(x)=0和/(y)=i3分由于C是X的一个连通子集，从而/(C)连通，由于O,1(C),所以Ae)=0,1,由于0,1是一个不可数集，所以。也是一个不可数集.6分5、证明：设A是任意一个由才中的开集构成的V的覆盖，因此A也是力的一个覆盖，由于4是才的紧致子集，从而A有有限个成员A,A使得nUAjnA.3分/=1由于力是正则空间的紧致子集，从而力有一个开邻域u,使得。u0a，从/=1n一而有UAinAny,从而A有有限子覆盖4,，A”,因此Y是X的一个/=1紧致子集.6分