模型32 三角形中的四心问题（重心、外心、内心、垂心）（解析版）.docx

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1、大招三角形中的四心问题（亚心、外心、内心、重心）Bl.三角彩的五心三角形的五心定义外心：三角形三边的垂直半分线的交点为三角形的外心,外心到三个顶点的距国相等：内心：三班形三个角的角平分成的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等：重心：三角形三条中戏的交点为三角形的重心，重心为中战的二等分点：垂心：三角形三边上的雨或其延长线的交点为三角形的垂心；旁心：与三角形的边及我他两边的廷长线都相切的胧叫做二.角形的旁切网,旁切圆的圆心叫做：角形旁心：三痢形有二个旁心.02.三角形的心（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点.（2）强心的性质：武心到顶点的距离与正心到对边中点的距离之比为2：I.的心和三角

2、形3个顶点组成的3个一:用形面枳相等.柬心到三角形3个顶点距离的和最小.（等边三角形）03.三角彩的外接与外心（1）外接Iflh经过三角形的三个原点的Bh叫做三角形的外接照.（2）外心：三角形外接IRI的10心是三角形三条边垂直平分战的交点，叫做三角形的外心.=SBCf=6,故答案为：6.”变式训练【变式1-1.如图.在等腰直角二角形ABC中,NAC8=90。,AC=HC.C0_1.A8于点”,中线AK与：.OC是AABC科边AH上的中线.：.OA=OC.VAEJAC的中缥二点F是448C的公心，：.OF：OC=Is3,.OF1.AO3故答案为：4-*5【变式1-2.如图，在平面直角坐标系中.

3、点B(-2,3),点C在X轴负半轴,OB=BC,点”为408C的重心，若拘ACMC战籽点。旋传90,则施转后三角形的曳心的坐标为.W：；08=BC.点M为BC的虹心./M=90；点8(-2.3).点M(-2.I.即MH=I.HO=2,C统新点O顺时针版其9O,如图，过点Ar作_1.x轴，MOW=ZM,1)0=90：二MOC+MOD=ZM+Z,WOQ=90,.W=ZMOC.TNCMH=NMDO=W,OM-OM,.MOHMOD(AIS).,.OD=MH=.WD=OH=2.W,1,2)：似羽C绕着点。逆用针旋转90,如图，标上所述：旋转后：地形的成心的坐标为.考嬴二：三角形外心问题【例2.如图，点。

4、是AA8C的外心.连接。从岩/QBA=17，则/C的度数为解:连接OA.作C的外接圆。O,点。是AAHC的外心.OA=OB.：.NeAB=NCBA=VT.ZAOB=-27=146：.,.ZC=ZO=73t,2故谷案为：73.A变式训练【变式2-1.已知4A8C的三边a.b.C满足c-4+Zh-l=430,则八8C的外接圈半径的长为.解：Vk-4+ft+r-l=4b+l-30.,.fr*l-4b+l+4)+25)+c-4=().b+l-2)2+(ri-5)2+e-4=0b+1-2=0.rt-5=0.c-4=().解得,=5.b=3,c=4,AC=3,BC=5.AB=4V52=32+42.BCz=

5、AC1AB2.八BC是口角三角形.OC为斜边，：.ABC的外接网的半径熄8C=.22故答案为：-.【变式2-2.如图，Zs48C的外接留的圆心坐标为解：设圆心坐标为(*,)：依题总得.A,B.C2.0)则有(4-)2+(6-y)2=7(2-)2+(4-y)2=(2-)2+(-y)21即4-x)2+(6-y)2=2-x)2+(4-y)2=(2-x)2+y2.化简后汨x=6.产2,因此圆心坐标为.才点三：三角形内心问题【例3】.如图，Rt4C,l,.ZC=90.C=6.HC=8.则ZSABC的内切般半径r=在RtABC,C=90,AC=6.RC=Ss根捌句收定理A8ac2+BC2,0:四边形OEC

6、F中，OE=OF.NoEC=NOFC=C=90；二四边形OECF型正方形：IH切线长定理.AD-Af-.BD=BE.CE=CFi：.CE-CF=2(C+C-B)t2即：r=AB.-K-故八B的氏为6.A”的氏为8.Aw:三角希心问题【例4】.如图，是锐用ZiA8C的垂心(3条Ift的交点，若A=8C,则/8AC的度数是.ZMtW=NBDH=NBEC=90；NAHE=NBHD.：./EAH=ZCBE.住AAEHflEC中.ZEah=ZCBEZaeh=Zbec.AH=BC.AEH2BEC(AAS).AE=BE，VZ4E=-yRtAAflfflIRtBCE.ABr-AE1=BC2-EC2,l25-=

7、36-(7-2,斛得：小与：在RtAffDfiRtADC中，Afi2-HD2=ACi-DC2,即25-=49-(6-y)2,解得：.v=h在RtAfD中,AO2-BDiAl/.AJ26:XVAMCD.19.AE_AHm7_AHADAC2V67解得：八，=笔:噂【变式4-2.如图.在八8C中“为垂心，。为外心，ZBAC=60,且AAZJC外接IaH径为10,则八M魁:址长AM交SCJO.延长CM交八8:.作H.径8E连接八R如图,.8F为O的H径.：NHAF=90.黑=祟BF10C.AB=IOsinF=IOsinAC8.又点M为Aabc的垂心.4)1RC.CElrAft.Z4D=Z(?90.Ef

8、AD.AEOADAB,陪在RIAAEC中，ZEAC=60,.C=UE.BlIA=八CflRADC.snZCJ-.UPADAfsinZACD.ACrAC10sinZACB.AM=-7ACsin=2ZC-130.故选：C.2.如图，“8C中,A8=8C=AC=3,。是它的内心，以。为中心,将AACC旋转180得到BC.则448C与li,C重登部分的问枳为(B,C.D.fy/3解：JAB=BC-=AC=3,：.Swc=-3.4Ch2,BC,.；.仔个小三角形的边长与大三角形边长之比为：I：3,即相似比为；I：3.小三角形与大三角形面积之比为：I,9.二11、小:.加形的面枳足里，4二用影郃分的面枳是

9、去巧.故选:A.3.小颖同学在手工制作中,把一个边长为Gm的等边三角形纸片贴到一个Ia形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个网上则网的半径为)A.23cmB.43cmC.fr3cnD.sV3*n解：由图意硒图如下,则*C为等边三角形,且内接于。,AB=C=BC=6cm./460.OODlfiC于点D,则8D=CD=8C=30w,连接08,OC.WlOB=OC.：ODlBC.：./DOR=-XROC.2VZOC=2A=I20q,O-三RlOD.VsinZDOB=-.OB.33el2OB：.OB=2y/3.故选1A.4 .如图所示，ZiABC的内切囤。与48、BC、AC分别相切于戊。、E、F.若NDEF=52,则NA的度数是）由网周角定理知.ZDOF=2ZE=I04*：Z=I8O,-ZDOf=76*.故选：B.5 .如图，四边形A8C。中，B=D.BC=DC.Z=90,.ZC=601.若八8=5.则八ZM）外心与8CQ内心的矩离是（）解：如图.连接AC交BD于E.过点B作HF.CD于G-交AC于点F.：AB=AD.CB-CD.二AC垂比平分80.VZfiD=90.：.ZADD=ZADB=.VZCD=60u,BC=