2025优化设计一轮课时规范练76 定值与定点问题.docx

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1、课时规范练76定值与定点问题1 .已知抛物线的顶点是坐标原点点在X轴上,且抛物线上的点M4m)到焦点的距离是5.(1)求该抛物线的标准方程；(2)若过点(2.0)的直线/与该抛物线交十人8两点,求证:函而为定值.2 .(2024-江苏南通模拟)已知A(XIJl).8(X2.2),C(X3J3)三个点在椭例I/+y2=I上.椭网外点P满足而=2而,而=2而。为坐标原点.求x-2+2y.V2的值；(2)证明:直线4?与OB的斜率之积为定值.3 .过抛物线Cy2=4x的焦点广且斜率为k的直线I交抛物线C于A.B两点.若MBl=8成直线/的方程；(2)若点A关于X釉的对称点为点D证明直线8。过定点.并

2、求出该点的+标.4 .(2024江西南3模拟)已知双曲线谆-=l(4X)力乂)的实轴长为2,直线y=3.v为C的一条渐近线.(1)求C的方程；(2)若过左焦点厂的直线与。交于P,Q两点,证明:以PQ为直径的圆经过定点.5 .在平面直角坐标系OQ中,点，到点A(1.0)的距离比到)，轴的距离大1,记点，的轨迹为曲线C.求曲线C的方程；(2)过点FjI斜率不为零的直线/交椭圆E+=l于48两点,交曲线C十MN网点,若3-士为定值,求实数)的值6 .(2024-东广州模拟)已知双曲线Cm-6=1,直线，过C的右焦点尸且与C交于MN两点.(1)若两点均在双曲线C的右支上.求证:金+白为定值.(2)试判

3、断以MN为直径的圆是否过定点?若经过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.课时规范练76定值与定点问题1 .解：拗物线的焦点在*轴上,且过点M(4,设她物线方程为y2=2p沏X).由拗物线的定义知,点M到焦点的距离等于5.即点M到准线的距离等于5,则4=5.Zp=2.：拗物线的标准方程为产=4K(2)证明显然直线/的斜率不为O,又由于直线过点(2.0),所以可设直线/的方程为x=ry+2.由；二；：2得y1-4ty-S=OJ=16r+320恒成立，设A(XI,.Vi).8(此庐),则yz=-8,三内幻=Ry=4,*xOA-O=(,y)(2,y2)=x2yj2=4+(-8)=-4.3X而为

4、定值-4.2 .解设汽q),因为而=2而,所以CVJ)=2(,-川,解得C二x3-+X2.1/3=-Yi+3X2-因为点C在椭圆上,所以空(-N+/)2=+yf+K+yi)-夕y)t2=l,即AX2+2yV2=.则kckB=d.在=丝沁.在=色里=3粤=*=T是定值.x3xlx2XiX2lX?2x1X2222x1X22x22X1X2+jX;Z3.解由y2=4x知焦点广的坐标为(1,0),则直线，的方程为y=Mil),代入抛物线方程(2)证明设直线AC与OB的斜率分别为kCkB.=4x-2K+4N+K=0.由题可知人(),且Zf=-(2么+4)卜4必升=16(内+1)0.设A(Xljl),8(J

5、D则Xi+2=当2c=I.由最物线的弦长公式知A8=x+.0+2=8M*=6,即2=1.解洱A=l.所以宜线/的方程为y=x-l或产x+l.由及拗物线的对称性知,点。的坐标为(Xy)U),直线50的斜率心/尸盘=算=大7,所以直线,8。的方程为,+.1=”431).即01)1及+|中”4工用工因为yf=4x.*=4x2-rX2=l.所以(KV2尸=16u2=I6.所以皆=4所以直线8。的方程为4(x+l)+S于方=0.令CJ)=,解得：o即直线30恒过定点(-1,0).4解由履意得加=2.即=1.因为C的一条渐近线方程为=5x.所以e=5,进而a=3.fc。的方程为r-=l.(2)证明双曲版的

6、左焦点为尸(20).当直鼓PQ的斜率不为0时,设宜线PQ的方程为产,”)，2代内,户).0.0”)，由C_?3得3(11y4M.y+4)y2=3=(3M-l).y2-町+9=0.易知3n2-l*OO,则12m9W=由JX=赤.设以PQ列径的圆上不同于忆Q的任意一点为M(x,y),由而丽,可得圆的方程为(X-Xl)(XM+G,-.yg)=0.即.d-(x+力*+占*+./-(y+y2)y+.vv2=O.由对称性知以P。为直径的圆必过X轴上的定点,令F=O,可得2-(ai+2)x+A.2+y1y2=0,而Al+X2=My1+.史)(3m2-1)-2-4.v+5-3m=O=(3m2-1+3nr-51

7、(-l)=0对V，R恒成立，二11,.：以PQ为直径的圆经过定点(1,0).当宜线PQ的斜率为O时,易知以PQ为宜径的IS过点(1,0).综上,以PQ为直径的圆经过定点(1.0).5 .解(D由点户到点F(IO)的距离比到)，轴的距离大】,可转化为点P到点H1.O)的距离等于到直段X=-I的距离,所以点。的轨迹是以“(1,0)为焦点,以X=-I为准段的抛物缴所以曲线C的方程为v2=4x.设A(XI.vO,8Q2,y2).M(x3.yO.Mr4.yO.依题意.设直线/的方程为r=(.vl).f2y2T+T=1，消去y并整理,得(3+4R*.8K+4卜12=0,因此XaX卢会可股=第，y=fc(x

8、-l),3+4*3+4*则I阴=TFJ(xi+x2)2-4x1x2=r11J(黑)24粽=由P二rf消去V并整理,得22-(2k2+4)x+k2=0.RlIx+.u=2z,(y=K(X-I),X工aIAfKri,1.C4121)H-f-1(4Ac23)3k2(4-3)9(23于ElMM=*3+x*+2=f-.从而而-=五W-诙H=-7时尸要使森一点为定值.42-3=3儿即2=3,所以实数/.的值为3.6 .(1)证明如图.易知A(4.0).设M(XI,y)jV(H,y2).直鼓MM=(x+4.联立卷2.30；2由)1丫23t2-O,则,+,2=,-=36由IWFl=J(Xi)+/=VtTTly

9、il,同理JM=FEj间.由于户产0.y21y2,TOyty2由g，冉5+加23(2箭=翳莽得)3=需.所以总+点=岛线=7警T为定值(2)解以、MN为直径的圆过定点(20)由题意,圆的方程f(-空尸+(A1+丫2、2_51，2/+(丫】，2)224，即-+y2(A+2W(y+)y+xx2+W=O由对称性可知,若存在定点.则必在X轴上.令y=O.2-(+2)x+xx2+y)2=O.由(I)可知当直歧MN的斜率不为0时,用+j=(y+.k)+8=喘不x2=S+4)(CV2+4)=Rvy2+4()+y2)+l6=K-翳7+16=芍勺,代入方程后有二8Jo-121C+x+37三T=0即(F-4)+tx+2)=0.对MR恒成立，3tc则区；：。“得x=2故圆过定点(20).当直媒MN而斜率为。时,易知以MN为苴径的圆过点(20).标上,以MN为直径的回过定点(20)