第五节-幂级数-2010-4-6.docx

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1、注意:对于级数E%,当ZM收敛时，Z“,绝对收就*-1.1.H-Ito1.(T厂y-diraA(T)“j例证不-v三WRM令%=y那么(2-T叫=向=同收做故原锻数笫同收敛.7.5号级数教学目的I弄清事级数的相关概念：掌握厘级数收敛半径、收敛区间、收敛域定义与求法：掌矩粘级数的性旗，能灵活正确运用性朋求幕级数的和函数.(肝点：掌握雅级数收敛半径、收敛区间、收敛域概念与求法：掌握解段数的性质,能灵活正确运用性质求窑段数的和函数.以及常数项徼数的和.帙学方法，启发式讲授校学过程，一、函数项税数的霰念1.【嵬义】设UI(X).U2(X).必,(戏是定义在区间/上的函数,那么RM,()=H1(X)+U

2、,(.V)+Un(.V)+-1.称为定义在区间/上的(函数项)无穷级数.2 .收敛，(1)收敛点一一常数理汲数Z4(q)收敛：n-1.发放点.一一常数项缴数%(.%)发放：21(3)收敛域D一函数顶级数4*)的所有收敛点形成的维合。：(4)发散域G“工幻的发散点的全体构成的集合G.JM1.K3 .和函数S(X)5(x)=Z”“(X),xeD.M-I,1.余项(X),(x)=S(x)-S(x),SAr(X)=W/(x),4:-I.reD.注：只有在收敛域。匕MX)才有意义：Iimq(X)=O,XGD.nx二、租数及其收敛半径和收购I1 .【定义】形如Sn的函数项级数称为(X-XJ的看级数.(也称

3、为TMMm),其中%4%4,为常数,称为林级数的系数.为与=O1.M,XaxXn称为X的恭级数(也称为标准事最敷)，nO其中常数o(/=0,1.2.)称为霉级数的系故.结论：对于拨数一引，作代换r=-玉可以将般解IIrO级数化为标准咕微数.所以我们只研究标准鼻级数数散件的到M-O别方法.%了的收敛旗：此级数的全体收敛点的集合U=O显然：不。(收敛域),即事级数总在X=/点处收敛.Z-,z-1Xi,均为鹏坡数V的收敛域D=(-IJ),其发敝域M!G=(-x,-1.U1.,+o).且和函数S(.r)=X.t=-!-.a1知(I)假设,(),即W1,即W!=/?,a“x发散.(3)黄设/凶=1,即N

4、=；=/?,比值法失效，Na.V1敛攸另K-O行判定.(4)假设=o,即M=o=o),.级数收敛域为X=O或0：独点集.假设4X对任意X都收敛，那么o,+oc).当()Rx01.有eD即级数发散H-O证明：（1）XOGDnNaX收跳rt-oawo由ZK收naK0（8）=10-O的常数）0f1.X|=|XI-.w-,w-正项级数SIaKr收敛M（1.IIf=“丁收敛=XW。即对VI1.X。I=“X收敛*-c那么（-K1,1/I）U。（收敛域），（0）:（2）或设与任。,那么（y,-kDU（IxjE）UG（发散域）.4 .【定理7.13假设后级数，/系数满足条件Iim-Man或Iim=/（/为常.

5、数或8）,那么(1)当OWC时，那么R=-：(2)当/=O时，那么R=+.(3)当=+oo时，那么K=0.常用公式：=IimW.R=一=.FaIim加C，8s,例如：邪级数Zx”的收敛半径R=1.X=1时，级数发做，故n-0其效区与敛域均为(T.1).例1求林级数(-1广,的收敛半:径与收敛域.rt-1.n解：e=Ump-j=Iim-=1.IMj-n(2)当X=I时，级数为M1.收敛：当X=-I时，级数为S1.发散.M-I故收敛区间(敛区)是(-U),收敛域为(-1J(Itte).例2(1)求墓级数工的收敛半径与收敛域.4-0S1n.a1.Gj+1)!.、娜：4Af=-=A=Iinis-=Ii

6、m=1.m(zr1.)=oc,!4八-!故收敛区间和收敛域均是(7O+)(2)求鼻级数n!.r的收敛半径.“I*/J=1.im-2-=Iim=Iim=0.IIaa1.1.-(+I)!I*1”+1练习：求林级数Z(-1.)”i的攻效半径与收敛域.提示：R=Ii=I=R=I,又NNI时级数发散.收敛域例3求部级数Z(T)Zu0的收敛半径叮收敛域.n*+1.(-1,3m.3+-C=Inn-.r=3a*i+1,1)3./V1.niM1.=.x时级数发散.IHI当=土有时，原级数是二(-1)”；.收敛的交错汲数.所以收敛半径A=T=,收敛区间(-3,收敛城t1注京：豌项汲数可以直接用比俏法求收敛半径.例

7、4(1：求用级数S空U的收敛半径与收敛域.3n解：令r=2x+1.解级数变形为R,-Iimn=IimJr1.=Iim=1=凡=In叫I*f1.+1.r+1.=.r+：时级数发散，M=InX=I.=O.当X=1时原级数为(-1)”!收敛.*II当X=O时，Z1.发散，故原级数收敛半径R=1.,收敛域为2-1.01.注4一股每级数求收敛半径时作变址代换.(2：求级数一E2-I,2-I的收敛城.解：Iim-a-，Iirn0/“2n-由HI即N1即N1时嫂数发散.得R=X(1)11-N(一)r当X=I时，1收敛，当X=-I时，Zir收敛，2n-1.射一1所以收敛域为-1,1).HRi1(02.3)设部

8、级数SqX与Sa,r的收敛半径分别为手与g那么幕级数f*”的收敛半径为（八）(2 (90.5)求级数雪业落的收敛域.解令=-3,级效S二.由1.im%i=Iim-=1知j,*(m+1)-R,=i因此当一1x3I即2x4时级数比敛.Ix=2时，原级数为S察收敛，当x=4时,原级数为H-I/收敛M-I所以收敛域为2,41.(3 (92.3)级数W二的收敛域为(0.4).1-14答令，=(X-2)对于，由色小41. nu.114IIim=Iim=-.a“nx(w+).4044于是收敛半径=4,那么-4(x-2)24,即0和#的收敛半径分别为凡和号,.8I)加流法：S勺,1=(4bn)xn.ve(-K

9、i.R).-0rt-0-其中：RninRa.R1.,.2)乘法：Ve=C1.,xa=(MJ)XU,Xw,R).H-O-Ort-Oc0i-o其中:Rtmn(Ra,Rb),q=力0也_*,n=1.,2,.3：除法：=Z,xg(一叫.叫)bt1.xaZI1.O其中:一得定,而q由系列表达式C=Z4%,”=12确定.A-O此处.W+，但尺.=1.2 .把级数6,r的和函数S(X)在其收敛区间(-凡?)内是连1-0续.3 .每级数可产的和函数S(X)隹其收敛区间(一凡&内可机C-O且有逐项积分公式J；S(X)dsJ；/，=之热.n=011=0十1:积分前后的收敛半径不交)例=1.+x+,v+-+xn+,

10、IXkI.逐项枳分时在1.-xX=I处无意义.4 .格级数ZaM的和函数S(X)在其收敛区间上可微，I1.在收敛n-0区间I：S(X)=；4d=hux-,xR,=R.S-O/-说明：求导与积分后两AUfc的收敛半径不变.但收敛域有可能改变.公式/=丁!一(收敛域为M.r(2)当0VX|1时,有-S(x)r=I-I=YX=.+UMI-XJ是.vS(x)=S()7=(pr=-In(I-A).由于S(O)=1Ir林级数在其收敛域上连续，-1.n(1.-),-1xO.O=S/1.xw(-IJ),那么1.SaMr=J；力”三x三-1.三xe(-U)-1.Af-I1*1S(x)=fS()=(一),二,KW(-1.1)为所求和函(ixin1.-x(1.-x