2024年指数函数和对数函数复习有详细知识点和习题详解.docx

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1、1.本章的结构图如卜.：一、指数的性质(一)整数指数帘1 .整数指数种概念：an=aa-a(e/V),=1.(O)nM=-(O.hGN)2 .将数指数室的运算性质：(I)aman=an(rn,HGZ)(2)(,vf=n(w.feZ)(3)(Z)=Z(GZ)3.。的次方根的概念一般地，假如一种数的次方等于“(1.nGAr),那么这个数叫做”的次方根.即；若x=,则X叫做”的次方根，(1.,wN)例如：27的3次方根场=3,-27的3次方根/王=一3,32的5次方根疱=2.-32的5次方根=-2.阐明：若是奇数，则a的次方根记作乐；若aO则标O，若ao则,0则。的正的“次方根记作匹，。的负的“次方

2、根，记作；一行：(例如：8的平方根土、用=2&16的4次方根折不=2)若是佃数，旦。I.Mevj0=0:式子江叫根式，叫根指数,。叫被开方数.(U7)”=.当是做故时，原式=Ia-R+1+I=S-)+(-a-b)-2a因此，+V(4+6)”=一2=6+25=J(5+1.2(二)分数指数帘20J2I.分数指数系：=5(0)=43(“0)即当根式的被开方数能破根指数整除时,根式可以写成分数指数%的形式:黄如阳的运算性质(2(ai)=0则加=QJ=即当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数补的形式C规定：(1正数的正分数指数林的意义是fJ=(O,，wN,”1.);(2)正数的或分数

3、指数舞的意义是er?=4-=-=(0.w,11cAr.111.).Wr2.分数指数厘的运算性质：整数指数履的运算性质对于分数指数后也同样合川C=%0,r,swQ)(2)(f1.rJ,=0”(0.r,scQ)(3)(ab)r=a,br(aO.bO.rGQ)阐明:有掰/指数需的运算性质对无理数指数于同样合用I2O的正分数指数厘等于0.0的负分数指数R没意义.3.例题分析：例I.用分数指数林的形式表达下列各式(。)：解：ai=a2-az=2=2：I2j/1p-3V:解(1)20/?7-60V一3下庐2IIII5=2(-6)(-3)titz=4abi1.=4a：1,Y/2,丫min*=mi|Im=阳例

4、3.计Jn、冽各式：(5-1.25)+/5(2)(2)疝/M=去例2.计算下列各式的值(式中字母都是正数.(2)I2I5IW:(5-1.25)5=5-5757=575-53IIIIII1.I57$-5；=行-诉G=f7=(三)综合应用例1,化简：5(2)法一)A-7+A-7=()3+(A-),=(x+)f(X)2-+(X)2J-,+5,+5,i,.解：5,-,+5+5*1=51(1.+5+25)=31.5,-=-5*.5IIII例2.化简：(/-/)+(./-户).III!I1.1.1.IIII解：(”一户)(户-户)=(+)(-)(x-)=x*+y*.I1评述：此遨也现了分子、分母指数间的联

5、络.叫户尸=一,由此联想到平方差公式的特点,进而使何题得到处理.II3_2例3.己知+=3,求下列各式的值：(I)x7+x7:x+a.IJb1IJbI解：.(x3+)2=(i)a+2j7+(x)1=.v+i+2=3+2=5.X2+X2=y5.I又由.+x=3得0+70,II因此一+Js=4.=(x7+Ar)(x+-,)-1.j=5(3-1.)=25.(法二)()+(x-7)J2=(x3)2+(t)2+2ax=+x,+2而F+x3=(X+X-1)(x2+X2-D=(x+x,)(x+x,)2-3=3x(32-3)=185_2(x+)2=20,J又由X+=3O得KO,工X2+20.3_2因此J+/7

6、=同=24.二、指教函教1 .指数函数定义：-般地，函数y=a(00t1.HI)叫做指数函数，其中X是自变量,函数定义域是A.例1.求下列函数的定义域、例域:(1) y=8(2y=1.-,(3)y=3+,(4)y=(aO,1.).解：.2-IO.,.xI原函数的定义域是HxgK.xh：.令=则/O,rw?.,.y=8,(eR.tO)得yO,y1.因此,原函数的值域是，)，O.y1.(2) .1.-(),0.0原函数的定义城是0.”).令I=I-(1.)Yx0)WDO,2.y=JZ在0.1)是地函数0y1.,因此,原函数的值域是0.1).(3)原函数的定义域是我，令，=-A1.MJO.Vy=3在

7、(田,0是增函数，二0=(),W1.)得=一四，a+1-1./*0；.,0.-Iyy-因此，原函数的值域是（-1.1）.用明：求复合函数的例域通过换元可转换为求简朴函数的值域,例2.当I时，证明函数y=I超奇函数.证明：由a-1.O得，xhO,故函数定义域(HXH0有关原点对称.,、1.+1(+1*1+A.3=KT=E7EfX).(-A)=-因此，函数是奇函数，a-I2例3.设。是实数，/(x)=-言J(XeR),(1)试证明：对于任意”.(x)在R为增函数:(2)试确定。的值，使/(x)为奇函数分析：此题虽形式较为发杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应规定学生注意不一样也型的解

8、答措施.(1)证明：设x1.X2R.x1.2/(x1)-(a-2)=(a-)-)2_2=2j+I-2x+12(2,-2,(FTixr7Tij,由于指数函数)=2在K上是增函数.1.1.x1.x2,因此2“2即2-2,0,得2”“0,2”0,因此,司）-占）0Hz1）的次后等于M就是J=N,那么数b叫做。为底N的对数，记作IOg“N=b,叫他对数的底数，N叫做真数，即=N,TogaN=baNb指数式“6=N底数指数对数式IOgaN=/，对数的底数真数对数用明：1.在指数式中恭N0,.在时数式中，出数N0.（负数与零没有对数）2 .：对任意aOI1.a,均有=I,kg.1.=O,I可样：Iogi1

9、.=I.3 .假如把J=N中的写成Iogt1.A1.则将d=N（对数恒等式）.2 .对数式与指数式的互换4=2Iog42=1IO-2=0.011.og1.o0.01=-2Iog10100=2例如：42=16Iog416=2IO2=100例I.将下列指数式写成对数式:54=25:2、专：3=27：(4riy=5.37.ft?：(1)Iog5625=4；(2)1g.-1.=-f1.:(3)1.og,27=s计算:Iog927,1.og625.解：设X=Iog27则0t=27.31.1.=3j.r=s=625,5=54,=5.(2)求X的佗：Iog5X=-解：x=342x2-1O但必须：2x2-11

10、.x=()台去，从而x=-2.3,r+2x-1.O37(3)求底数：Iogc3=-.IogK2=d.5O353S解：5=3=(3)=37:178=2=27,=2.4.对数的运算性质：假如0.I,fO.N0,那么(1) IOg“(MN)=1.ogM+Iogi1.N：M2)1.og.,=1.og.,M-IogtfN：N（1.g3+21g2-1.）=工1.g1.232Ig3+21.g2-1.2g10O2N5.按底公式：1.og,N=-（a0.oh1；110.11I）证明：设1.og,N=九则=N.两边取认为桁底的对数得：1。以。=1。以八.=从而得：X=警，：.IogtIN=警.gw0*用明：两个较为常用的推论：（I）1.ogZx1.oga=I：（2）Iogb,=Iogub（a-力0且均不为I）.m证