二次函数和特殊四边形综合问题.docx

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1、二次函数与特殊四边形综合问题一、知识准备：融物线与直线形的结合表形式之一是，以I1.物线为体，探讨是否存在一当点，使其他构成某些特殊四边形，有以下常风的根本形式(1)IMm上的点能否构成平行四边形(2)*物线上的点能否构成矩形，类形，正方形(3)抛物n上的点能否构成梯形.特殊四边形的性质与是解决这类问的根基，而待定系数法，敷奉结合，分类时轮是解决这类问题的关健二、例题精折【抛物线上的点能否构成平行四边形】例一、如图,拈物纹，=-+6+。与直线)，=:工+2交于；。两点，其中点。在.丫轴上，点。的坐标为(3.g)。点P是)，釉仃侧的抛物线上一动点,过点P作。E_1.r轴于点E,交C。于点尸.(1

2、)求她物税的解析式：(2)假设点尸的横坐标为，”，当，”为何伯时，以。,CP,尸为顶点的四边形是平行四边形清说明理由。(3)假设存在点P,使NPC尸=45,请自接写出相应的点P的坐标【解答】(1)；直线y=x+2经过点C,.C(0.2)；他物线=-/+/+c羟过点C(0,2),D(3,)2=cj7P=-72一=-3+劝+c,21c=2：.附物纹的解析式为y=-Xi+：*+2(2).点P的横坐标为，”且在抛物线上I1(m.-m+/?+2).F(m.-m+2)22：PFHeO，：.+PF=Co斌,以O.C,P,”为顶点的四边形是平行四边形当0，”n:+wj+2-(+2)=-m:+3/m22.*.-

3、m2+3，=2.解得：“4=1.m2=2即当J=I或2时，四边形OCP尸是平行四边形当】23时,PF=(w+2)-(-/?/-,+2)=n2-3/n22ff-3n=2,解得：“=士N?=(舍去)W当/M1=-y时，四边形（XJFp是平行四边形.PM=CM=ICF又.PF-nf+3?-in2+36=：m解得：n1=-,m,=0(舍去)；.P(1.,二).22213同理可以求得：另外一点为&于,77)618【抛物线上的点能否构成矩形，菱形，正方形】例二.(2013荆州)如图,：如图,出城y=-5v5与X轴、y轴分别交于A、B两点.两动点D、E分别从A、B两点同时出发向O点运动(运动到。点停顿)：对

4、称轴过点A且原点为M的抛物戏y=a(x-k)2+h(a.设直线BG的解析式为y=kx+b.将B(O,31.G(2,岑)代入科:b=3G心.解得k=-g，bM.2k+b=y4.y=-a4令=,得y=3,4.M(I,.4设撤物线解析式为y=a（X-|）2弯3点E（0,哼）在拗物线上,.返i1.亚亚.解2-0244,尸-吏1）2但&2诋西.,44422.BE=3=-OE=OB-BE=.E(0.零.G(2.串.设也找BG的解析式为y=kx+b,将B(0,5),G(2,害)代入得:fb=32k+b=如，解得k=-孚，t=3.-z-5.y=-23x+3.*令x=,得y=华设微物线解析式为y=am（.邛）.

5、（X-I）2+2联，点E（0,雪）在抛物畿上,.*i1.考.解褥a=-喑.y=-23()后运-23:+43+3.55555综上所述，符合条件的抛物浅的解析式为：产一争吟杏或y=-+43+3.555点此处是中考压轴胆，涉及二次区数的图象与性质、一次函数的图型与性质、特定系数评；法、相似三角形、解口角三角形、菱形等知识点.第(3)H.有两种情形存在，需要分类讨论，防止渐解.【抛物线上的点能否构成梯形】例三(2008年成都市)如图.在平面直角坐标系XOy中,()AB的蹊点A的坐标为(10.0).顶点B在第一象限内，且A8=36,SinNoAB=咚.(1)黄设点C是点B关于K轴的对称点.求经过0、C、

6、R三点的抛物城的函数表达式：(2)在(D中,抛物线上是否存在一点P,使以P.0.C、A为顶点的四边形为梯形假设存在.求出点P的坐标：假设不存在,请说明理由:(3)假设将点0、点A分别变换为点Q(-2k,0).点R(5k.0)(k1.的常数)，设过Q、R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物城与y轴的交点为N,其顶点为Y,记AQV(的曲枳为SSaMW，AQWr1JimfHSsaw求Sqmnqnx解：(1)如图，过点8作8O_1.。A于点O.在RI48Q中.vAB=35.sinZOA=y：,Vj/.BtJ=IAf1.sinZOAB=35y=3.三又由勾股定理，C得|皿=1人用2-|8忧=(35)

7、2-32=6.,0DI=侬TAD1.=IO-6=4.点H在第一象限内.二点B的坐标为(4,3).点B关于X轴对称的点C的坐标为(4.-3).设经过O(OQ),C(4,-3),4(10,0)三点的撤物线的函数表达式为y=r2+b式aO).fi6r+4fe=-3a8,由100f1.+IOft=O,5b=.4.经过QGA三点的她物线的函数表达式为一:*.(2)假设在(1)中的拗物线上存在点尸，使以只O,C,A为顶点的四边形为悌形.点C(4,-3)不是弛物税y=(-1的顶点，/.过点C作直投OA的平行线与她物线交于点P1.则自然Cf的函数表达代为y=-3.而点C(4,-3),.R(6,-3).在四边形

8、*K)C中，CIO,显然;C用R1.o4点R(6,-3)是符合要求的点.假设A鸟CO.设直规。的函数发达式为y=Ar1X.将点C(4,-3)代入，4,=-3.i=-.4直线CO的函数表达式为丫=一2X.4于是可设且践八2的函数表达式为Y=-W*+.4将点A(Io,0)代入.ft)-10+Z1=0.-=y直规Ag的函数表达式为y=-v+y-315J=X+由42n-4-60=0,即(X-IOXx+6)=0.1251,84而点A(IOQ),.J(-6J2).过点P2作6_1.X轴于点.则区E1.=I2.在Rt八EE中，由勾股定理，WAP2=P2Ef+AEf=I22+I62=20.而ICoI=IQ罔=

9、5.二在四边形与OG1.中,人Co,但A4r.点鸟(一6,12)是符合要求的点.假设08CA.设直税C4的函数表达式为y=V+bi.将点A(100),C(4,-3)代入，得，10+=0n*=34k+仅=-3f.权=-5./.直畿CA的函数表达式为y=,v-5.宜城OP,的函数表达式为V=.I,=-v由；n-1.4x=0,即Mr-14)=0.1,3y=-rX84而点O(M),二4(14,7).过点P、作P1.J_X轴于点F,则IAN=7.在R1.AOR尸中.用勾股定理,得I。图=JA肝+1。呼+=74.ftC4=AFi=35.在四边形CA中,opi/CA,但|。制.；.点4(14,7)是符合要求

10、的点.综上可知，在(1)中的微物线上存在点R(6,-3),R(-612),&(14,7),使以上O.C.A为顶点的四边形为梯形.(3)由题知,她物线的开口可能向上,也可能向下.当抛物我开口向上时,则此抛物线与y轴的负半轴交于点N.可设施物税的函数融达式为y=a(x+2k)(x-5k)(a0).,即y=ax2-3iikx-10:?=x-1)-ak1.如图.过点M作MG1X轴干点G.(-20),R(5k,(),Gjh)N()-104/卜贝|上一专炉QOI=2k,QRI=7k,OG=h.749(2G=-,ONI=1(W2,.WGI=-aki.S.1.1.=1|Q/?|OM=；x7kx1.0F=35M.=1.(2()+15+3x-7x1.3三-wi.2188J4Ssqmi：SMR=(?/:(354)=3:20.当他物线开口向下时,则此地物线与)，轴的近半轴交于点N.同理，M得Sqnm:Sqnk=3:20.踪上可知，SzIOMW的(ft为3:20三、形成提升训练E如图,她物线