二项分布和超几何分布(含答案).docx

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1、超几何分布和二项分布一、两者的定义是不同的1超几何分布的定义在含有M件次品的N件产品中，任取件，其中恰有X件次品,则Pa=A)M=O.1.2,-,m,其中11=minM,且N,N,I1.,M,NN称随机变量X服从超几何分布.X01mP/*0z-w三0Gz-*1.zw-1.N-MC；C；2独立发试险及二项分布的定义独立复试验.在相同条件下重复做的次试验，且各次试验试验的结果相互独立，称为次独立重复试蕤，其中4(/=1.2,”)是第/次试验结果，则P(4444,)=P(4)P(4)P(4)尸(4).二项分布.在次独立重复试验中,用X表示事件4发生的次数，设每次试脍中事件4发生的概率为p,则Pcr=

2、k)=CP*(1-p)*(A=0.1.2,n),此时称随机变X股从二项分布.记作X8S,p),并称P为成功慨率.本质区分(D超几何分布描述的是不放I可抽样问时.而二项分布描述的是放回抽样月时.(2)超几何分布中的柢率计算实质上是古典概型问题：二项分布中的概率计算实质上是相互独立事务的概率问题.二、两者之间是有联系的人教版新课标选修2-3第59页习题2.2B组第3册；M1.某批n件产品的次品率为2乐现从中随意地依次抽出3件进行检验.问:(I)当n=500,5000,500000时,分别以放回和不放回的方式加取,恰好抽到I件产品的概率各是多少？(2)依据(1)你对邮几何分布及二项分布的关系有何相识

3、？【解】(1)在不放回的方式抽取中，每次抽取时都是从这n件产品中抽取，从而抽到次品的概率都为0.02.可品数X(3,0.02),恰好抽到1件次品的概率为P(X=I)=CjO,O2(1.-0.02):=3x0.02x0.98,W0.057624.在不放回的方式抽取中，抽到的次品数X是随机变,X服从超几何分布，X的分布与产品的总数n有关，所以需要分3种情况分别计算：n=500时，产品的总数为500件，其中次品的件数为5002=10,合格品的件数为490.从500件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为P(X-I)-490489C!0C1.1.1.x-2|-30490489q500499498

4、5(M)499x4983!*O.O57853sn=5000时，产品的总数为5000件，其中次品的件数为502%=100,合格品的件数为4900.从50件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为300x4900x4899C1.n5(XX)499949980.057647；n=50000时，产品的总数为50000件，其中次品的件数为500002%=1000,合格品的件数为49000.从50000件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为P(X=I)=0.057626.oooooo3049000X48999Cooo5004999949998（2）根据（1）的计算结果可以看出，当产品的总数很大

5、时，超几何分布近似为二项分布.这也是可以理解的，当产品总数很大而抽出的产品较少时，每次抽出产品后，次品率近似不变，这样就可以近似看成每次抽样的结果是互相独立的，抽出产品中的次品件数近似服从二项分布.【说明】由于数字比较大，可以利用计算机或计算器进行数值计算.另外，本迤目也可以帮助学生了解超几何分布和二项分布之间的关系：第一，n次试验中，某一事务A出现的次数X可能听从超几何分布或二项分布.当这n次试验是独立重复试验时，X听从二项分布；当这n次试脸是不放回揍球问题，事务A为摸到某种特性（如某种颜色）的球时，X听从超几何分布其次，在不放回n次摸球试验中，摸到某种颜色的次数X听从超几何分布，但是当袋子

6、中的球的数目N很大时，X的分布列近似于二项分布，并且随着N的增加，这种近似的精度也增加从以上分析可以存出两者之间的联系：当调查探讨的样本容/特别大时，在有放回地抽取及无放回地抽取条件卜，计。得到的概睾特别接近，可以近似把超几何分布认为是二项分布.例2袋中打8个门球、2个黑球.从中随机地连续抽取3次,每次取一个球.求（1）又放回抽样时.取到黑球的个数X的分布列：（2）无放网地抽样时，取到黑球的个数Y的分布列.例1袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次,每次取1个球.求：（1）有放回抽样时,取到黑球的个数X的分布列；（2）无放向抽样时,取到黑球的个数丫的分布列.解（1）有放回抽样时.取到

7、的黑球数X可取的取值为0.1,2,3.又由于每次取到黑球的概率均为,3次取球可以看成3次独立而复试验,则XP(X0)=G()=赣；P(X=D=Cj(y),3)*=裳；P(-2)-(y),(y)=备P(X=3)=C()1)=去；因此,X的分布列为XO1.23nM482I,125125125125(2)无放回抽样时.取到的黑球数y可微的取值为0,1,2,且有：Ctei7c!ciP(Y=O)=艺=台Hy=I)=-F1=7,.vGCJ1-5P(F三2)=-3j=TF因此的分布列为f例1.（2016潦河模椒）察假期间，我市某校学生会组织部分同学,用“10分制”随机调查“阳光花园社区人们的幸福度.现从调查

8、人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶），若幸福度分数不低于8.5分.则称该人的幸福度为“幸福”.幸福度7308446677889997655求从这16人中随机选取3人,至少有2人为“幸福”的概率；以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记表示抽到“幸福”的人数，求i的分布列及数学期望.错解（1）由茎叶图可知，抽取的16人中“幸福”的人数有12人，其他的有4人；记“从这16人中随机选取3人，至少有2人是“幸福”为事件4由题意得ac：tc?4114070140（2）4的可能取值为0.1.

9、2.3,则/（4=0）=C：C_4_1C；6560-140P（=D=729560-70,fcCICi26433W3)=卑=*=1.C：656028所以4的分布列为iO123P11409703370I1.28f(4)-0+-1-2-3=-.1407070284错解分析其次问的选人问题是不放回抽样问题,依据定义先考虑超几何分布.但是题目中又明确给出：“以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，从该社区（人数许多）任选3人”,说明不是从16人中任选3人,而是从该社区（人数许多）任选3人.所以可以近似看作是3次独立重复试验,应当依据二项分布去求解，而不能依据超几何分布去处理.【正解】（1）同上；（

10、2）由至叶图JO仔这一人.3人率1度为,4的可皎原值为01.2.3B(3.-).4F唱哈,22YE）.用吟,所以的分布列为O123P1642642727）-3X二：.44从以上解题过程中我们还发觉，错解中的期望值及正解中的期望值相等，好多学生都觉得不行思议，怎么会出现相同的结果呢？其实这还是由于前面说明过的缘由，超几何分布及二项分布是有联系的，看它们的期望公式：（1）在含有*件次品的件产品中，任取件，其中恰有4件次品，随机变量彳服从超几何分布，超几何分布的期望计算公式为EY=也（可以根据组合数公N式以及期望的定义推导）；（2）随机变*服从二项分布.记作XBg。），EX=np；当超几何分布中的N

11、T8时，丝p,可以把N超几何分布中的不放回抽样问题，近似看作是有放回抽样问题，再次说明NT8时，可以把超几何分布看作是二项分布.综上可知，当提问中涉及“用样本数据来估计总体数据”字样的为二项分布。例2根据我国相关法规规定，食品的含汞被不得超过1.OOppm,沿海某市对一种贝类海鲜产品进行抽样检件,抽出样本20个,测得含汞贵（单位：PPm）数据如F表所示：分组(0.0.25(0.25.0.50(0.50.10.750-75.(!,11.25(1.25,1.50643223（1）若从这20个产品中随机任取3个,求恰有一个含汞鼠超标的概率；（2）以此20个产品的样本数据来估计这批贝类海鲜产品的总体,

12、若从这批数才很大的贝类海鲜产品中任选3个,记S表示抽到的产品含汞总超标的个数,求的分布列及数学期望ES解（1）记“从这20个产品中随机任取3个,恰有一个含汞量超标”为事件4则所求概率为（2）错解所有S的取值为O.,2.3,故f的分布列如下iOI23P丝丝11401140150H40IOH40=0i+,+2x150,_1140+3XIO_2_1140-T(2)正解依题意.这批贝类海鲜产品中含汞最超标的概率为51P=7=T所有4的取值为0,1.2.3.p(三O)-c()（八）*.g,P(U1.)=G(f,ePU三2).Cj(-J),(f)-.仆3)=()i(f)*=.故f的分布列如下27272_1

13、.66464,Ef=OX+iX+2-+3x-=“646464644(可直接应用一项分布期望公式=3-1)用独立重复试验要求独立（互不影响）而且重复（前后概率都相同）假如是任取,是一把取出来，还是分多次取出来,前后两次会造成影响么？概率会相同么？仃没为依次？自我检测I案研五机构准备举行一次致字淅谭机研讨会，共送请50名一数收界参加，使用不同版本级材的级算人数如下表所示：版本人教AJK.人教B版苏技版牝界大成人疑2015510(1)从这.50名被并中Si机选出2名，求2人所使用版本网目的桎率：(2)若St机选出2名使用人如工的收邦发营，设使用人裁.A版的收弹人数为X,求随机变量X的分布列加数学期里.行：(D50名教拜中St机选出2名的方法数为Go=I225.逸出2人使用版本相同的350，方法数为d*+Ch+Ci+Cio=35O,故2人使用版本相同的梭隼为P=j7=(2/的所有可能总值为0,12P(X=O)=急=去RAr1.效-”X-2)-cj-119.x衲分率列为X012P3_H60U938U9.3.60.38136SW=0xu+1.xnP+2xu9=n9=?答卷模板模板一离散星随机变量的期望和方差例1.(2016天津高考理16,13分)某小组共10人.利用假期参加义1.活动,已知参加义1.活动次数为1.2,3的人数分别为3,3.4,现从这