五升六暑期奥数培优讲义——6-14-不定方程4-讲义-教师.docx

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1、第14讲不定方程【学习目标】1、熟悉不定方程的概念：2、掌握不定方程的常用解法：3、会解不定方程应用题“未知数的个数多于方程的个数的方程（或方程组）就叫做不定方程（或方程组）。不定方程（组）,就是方程（组）的解不确定，有的方程（组）有无数多组解，有的方程（组）没有解，有的方程（组）有有限组解。我们经常关心这类方程（组）的整数解，正照数解或有理数解。（典例精析】【例1】正整数X,y满足6x+7y=2012.设x+y的最小值为p,技大值为q,则p+q=解：6x+7y=2012,方程可以变形为：x=20127v.6.2012-7），2012-y所以x+广-+y=k-.66由上述算式可知,y取殿大值时

2、+y值最小：y取最小值时，+y值鼓大:因为x、y都是正核数，所以2012-7yN6,所以可得：y=286.经过计驾验证可得y最大足284,最小是2.1.12012-284，2012-2所以P288q33566所以p+q=288335=623.【趣热打铁-1】不定方程2x+3y+7z=23的自然数解是x=3.F=I2=2【例2】写出满足I=-1.+-1.的两组数。24（）（）111=+247236I1124=96+32【趣效打快2】若图形表示自然数且I+!+4+=1，那么+口+3=1418O=9.口=3,0=2【例3】已知和分别表示两个自然数，并且与+HA+*=_5_.wIIJz=2.加3出熬打

3、】若3是正整数，且=1,则x+1耨：因为.-+-=1.所以.把A=IX)冷4 则,4x+y=xy,即y-4+.x-1.则.0x-15,f1.xI,xryP不为0,则,根据X，y是正整数,可得：(J1.=2(x3fx三53=8,3=6,y=5所以,x+y=28=10.或x+y=3+6=9,或x+y=5+5=10.故答案为；IO或9.【例4】已知X,y满足XKyJ=2009,x+y=20.09:其中x表示不大于X的最大整数，x表示X的小数部分，即x=x-x,那么X=.根据题意，y是整数,所以x=2009-y也是整数，Hx=x.那么x=x-x=0由此可得y-20.09-x:20.09-0-20.09

4、,所以y=20,x2009-y-2009-20-1989.故答案为1989.【趣熊打帙-4】解方程：x+x=2(x+9,其中x表示如X的整数部分，x表示X的小数部分.如3.14=3,3.14=0.14.(要求写出所有的解)解：根据分析.设X的悠数部分为a.a1.iX的小数部分为b.0b1.依他速：ab*ab-2b9.整理版(a-1)(b+1.)=8,V1.b+12.4a-18,且a-1为整数.当a-1=8,即a=9,b=0.x=9:当a-1=7,a=8,b=y.x=8y；当a-1.-6.即a-7.b.x7i当a-1=5,即a=6,b-.x=6-.5 5.方程的解为：x-9：X-8-：X7-：X

5、6-.735【例5】将某同学生日的月份数与31的乘积、日数与12的乘积相加，得到和为376.问这位同学的生日是几月儿号.解：假设某同学的生日是X月丫日，根据题意:有方程31X+12Y=376,即31X=37672Y（其中X、Y都是正整数,X是112,丫是131）由于方程右边能被I整除，所以左边也应能被4将除，由于1与31互质，所以X必能被4整除,X只能为4,8,12之一，检脸知，只有卜4满足，这时21,所以，该同学的生日是4月21日.答:这位同学的生日是4月21日.【趣焦打铁-5】多思超市销告的巧克力仃每包5粒装与每包7粒装两种.小美共买了71粒巧克力，且她购买7粒装的包数比5粒装的包数多.她

6、共买了多少包巧克力？假设买了包5粒装的，b包7粒装的，则5a-7b=71当a=3时,b=8当a=10时,b=3因为买7粒装的包数比5粒袋的包数多所以买了3包5粒装的和8包7粒装的3+8=11（包）【例6】在上升的电梯中称体重，体重器显示出体重数值比实际体重增加J：在下降的电梯中称体重，体重器显示出体重数值比实际体重诚少T.如果电梯上升的瞬间小明的体重与在电梯下降瞬间小刚的体重相同，并且他们的实际体重都是小于50千克的整数.那么，小明与小刚的实际体重一共是一千克.设小刚体屯XT克.小强y千克.根据理总可用方程：7,r=-y,67方程变极为：X=-V.49因为x、y那是整数，且O-So之间能被49

7、整除的数只有49,当y=49时.x=36.49+36=85（千克）【趣热打铁Y】箱子里装有若干个相同数量的黑球和白球，现往箱子里再放入14个球（只有黑球和白球），这时黑球数量占球的总数的!，那么现在箱子里有个白球.解；设开始有X个白球,也就是黑球也有X个,后面放进去的臼球行y个，则黑球行M-y个，由SS意：14-y+x）11.7,即y的取值是12,13,1%当y=I2时.x=0.5当y=13时,x=2当y=1.4时.x=3.5必须为正整数，故，y为13,X为2：现在箱子里有臼球：2+13=15(个).【例7】某地实行阶梯水价，且每个月都按整数吨收镀：每月不超过20吨，每吨1.8元：20吨以上，

8、但不超过30吨的部分每吨2.4元；30吨以上的部分每吨3元.某户三、四两个月的水费合计117元，且三月份比四月份用水不超过10吨.该户三月份用水多少吨?四月份用水多少吨？解,设三月份用水X吨,四月份用水y吨.都不超过30吨；根据题遗存：201.82+(x+y-10)2.1=117整理得：x+y=58.75.国为每个JJ都按整数吨收黄，所以假设不成立.假设四月份不超过30吨：根据题总得：201.82+102.4+3(x-30)+2.4(y-20)=117,整理得:3x+2.4y=159.因为枢个月都按整数吨收费,所以只有x：33,k25时，方程才成立.答：该户三月份用水33吨,四月份用水25吨.

9、【越热打快-7】某地按下列规定收取电费.如果每月用电不超过24度，就按每度电9角钱收取：如果超过24度，超过部分按每度电2元收费.己知在某月中甲家比乙家多交的电费9元6角(电的度数取整数)，甲乙两家各交多少电费？解：因为最终甲户比乙户多交电费9角6分,而用电度数按整数计算，9.6不能被0.9和2.0整除，所以甲必超过24度，乙不到24度，设甲用电(24+x)度,乙用电(24-y)度2x+0.9y=9.6(x,y必须是整数)只有x=3时y=4符合要求,所以：甲27度27.6元，乙20度18元，【例8】一个布袋中装有红、黄、蓝.种颜色的大小相同的小球，红球上标有数字1,黄球上标有数字2,蓝球上标有

10、数字3,小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字和等于21,则小明摸出的球中红球的个数最多不超过个。解：设小明摸出的10个球中有X个红球，y个黄球，乙个篮球。依题意列得方程组:.r+y+z=10.r+2+3z=21X3-得2x+y=9,即y=9-2x.由于y是非负整数,X也是非负整数。易知X的最大值是4.即小明摸出的10个球中至多有4个红球.故答案为：1.【趣焦打快-8】今年学校举行足球联赛，共赛17轮(即每队均需参赛17场)，计分办法是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，在这次足球比赛中，小虎足球队得16分，所踢平场数是所踢负场数的整数倍，则小虎足球队负场数的情况有种。解：假设小虎队

11、胜了X场，平了y场，负了Z场，则依据题意可得.r+y+z=17-3+=16y=KZ(A为正整数)解得：Z=-斗，因为k取正整数.所以当k=1.时,z=7:当k=2时,z=5:当k=16时,Z=E2Jt+3综上所述，小虎足球队所负场数的情况有3种.过关精嫉1、n名棋手进行堆循环比赛，即任两名棋手间都比赛一场.胜者得两分，平局各得一分，负拧没分.比赛完毕后，前四名各得8、7、5、4分，n=.解：总场数为：出二D场，总得分为：n(n-1).2n(n-1)87+54+4(n-4)n1-5n-80n24,4n6n-4,总分4X3=12分，与已知不符；n=5,总分5X4=20分,也与已知不符：h6,总分6

12、X5=30分,符合题意：因此n=6：2、李家和王家共养了521头牛.李家的牛群中有67%是母牛，而王家的牛群中仅有、是母牛，李家和王家各养了多少头牛？李家的牛群中仃67$是母牛，67是侦数,可以设李家养牛头数为100X,王家的牛群中仅存专是母牛，13是质数，可以设王家养牛数是13y,列出方程：100x+I3y=521.（1）X和y是貉数，分别取x=1.,2,3,4.5.可以得到x=3,y=17.或者解同余方程（1）.式的解，得到y=I7答:李家和王家各养了300头和221头牛.3、有若干张面值分别为0.5元、0.8元和1.2元的邮票,面值共60元，其中面值为0.8元的邮票张数是面值为0.5元邮票张数的4倍，那么，面值为1.2元的邮票有张.解:设可设面值为0.5元的触票为X张，则面值为0.8元的邮票就有4x张，再设面值为1.2元的邮票有y张,根据即意UJ得方程：0.5x+0.8441.2y=60.3.7x+1.2y=6O.等式两边同时乘以10可得：37x12y=600,所以可以变形为尸陋出，12因为X、y都是整数,600是12的倍数,要使600-37x能被12整除，则37x应是12的倍数.而37是质数，所以X的值只能取12的倍数才能保证丫伯为槃数,由此可以得：当x=12时,=13;击面值为1.2元的郎票有13张.