ARCH与GARCH模型.docx

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1、3.1ARCH与GARCH模型例1 .自回归条件界方差模型1.1.1 问题的提出对异方差误差分布的修正能帔导致更加有效的多数估计,例如在回归方程X=+u+H,2,然后用普通最小二乘法估计变化后的回归方程=力+/?”*+；t312)2jA2j人2(在有些应用场合下，可以认为误差项是随时间变化的并且依赖过去的误差大小。通货膨版以及股票市场收益都属于这种情形.在这些实际应用中.常常有大的误差与小的说若成群出现的情形，换句话说，存在着一种特殊的异方差形式,回归误差的方差依赖于过去不久误差的变化程度.一个被广泛采用以斛决这类异方.差模型是由RobertEng1.C研究开展出来的，他认为用一个自回归条件异

2、方差模型(Autoregressiveconditiona1.hctcrosccdasticityBot1.c1.,简计为ARCH模型)会提方有效性。3.1.2 定义一般的.公式(1)中随机误差项却的方差可以依赖于任意多个滞后变化盘e,t(i=1.2,p).记作ARCH(P).=a,1.+a.+a,.2+ap.-p(31-3)注意3(1) 为了保证在给定一I条件下，-o,就必须要求0=O,1.,-.p);(2)要保证误差序列明的平桧性，系数必须满足：a1.+aj+-ap.3.1.3 检验3.1.4 .IBreusch-Pagan检验在同方差的假设下条件下：SSR2X-(1)根据EViCUS3.

3、IOI.S处理结果.可根据下式计。检验的统i1.1.SSR/2杳自由度为】时的,分布去，找出给定显著性水平条件下临界值，比较检验统计值与临界值的大小，以确定接受还是拒绝模型同方差的零假设/?SSRssSSRSSR+SSE3.1.3.2城假日检脸（1.M）已经讨论过两种假设检验法：F检验（Wa1.d检验）法（第5章）和似然比检验法，WaId检验从无限制条件模型开始，检验给模型加上限制条件（即一些回归参数等于0是否显否施诚弱了回归机型的斛林能力,根据Wa1.d抽脸的观点，原假设由有限制条件模型给定.而备择假设出无条件模型给定。在线性回归模型情况卜.，显著性由F检验来评估,似然比掾胎法悔验的也是关于

4、由有条件模型给定的原假设，但是这悔验却是用工?分布完成的.由于似然比（Uo检蕤法的施础是极大似然原则,因此它是很有吸引力的检验法.*一日Ma1.aM由有限制条件限型限定的原检设出发价步向得择假设方向的变化能否显著地提高有限制条件模型的解择能力.拉格朗H乘数检脸法以有条件极大化技术为基础.其中拉格朗H乘数是用来估计限制条件对参数极大似然估计的影响程度的。令人R为无条件模型参数的极大似然估计，BR为有条件模型参数的极大似然估计，目标是在限制条件为Ir=自下求InU乐J）的极大，这就等价于求下式的极大1.n1.（）-（v-）其中是拉格朗H乘数.很明显,限制条件成立时这个函数到达极大值.拉格朗H乘数度

5、fit的是限制条件的边际“价值”:4越大，限制条件对】位（四,）的极大值影响就越大.要想明白其中的道理，注意到极大化的一阶儡导数条件之一是一所以N是似然函数的斜率，如果限制条件成立的原假设不能被拒绝，则有条件的卷数公与无条件的参数很接近.而且久的值会较小.但是,如果限制条件显著地不成立,则加上限制条件的损失,也就是2.就会更大.因此,基于2大小的拉格用日乘数检验法有时就称为计数检验（scoretest）.拉格朗日乘数检验法可以很容易地用于考虑是否在网内模型中参加另外的解择变收的特殊情况.假设已羟估计了有条件模型Y=B+氏Xi+凡TXKT+r（3.1.4）而且正在考虑可能参加另外q个变量中的同部

6、或全部变I1.t的无条件模型r=/?1.+x:+.+A1,x+A+s（3.1.5）关于q个变豉中每一个变量的系数都是零的假设的拉格朗H乘数检验首先计算有条件模型（IOI7）的残差.特别地.如：鼠=Y-B-BX1.-BrX-（3.1.6）然后考虑将这些残委对无条件模型中的所有解择变量进行回归=+22+At+如果所有这些另外加上的变量都是,无关紧要”的，则当我们从有条件模型变到无条件模鞭时，q个多出来的变技的系数应当为0.然而,如果无条件模型中多包含的变出中有些对r有决定性影响的话,我的认为它们的系数应当是统计上显著的.因此方程1.6）的估计会很好地拟合数据.拉格朗H乘数检5金法依籁于回归方程16

7、)的显著性检验.特别地拉格朗H瓶数检验统计居1.M=NR7e(3.1.7)服从自由度为q(限制条件个数)的二分布.N为样本容麻，用：是的旧方程(IO-的/?如果计算出的检骁统计做大于?分布的5界值，我们就拒绝行条件模型成立的原假设,拒地脱假设就是认为有些另外的变城应当被包含在模型之中对模型(3.1.6)的I统计M的研究能师说明应该选择哪些变诉，但是没有什么公认的评价方法，拉格朗H乘数检验法常常用来对异方差进行检5金,就是White检脸.为了略为深化这里的讨论,假设估计了一个线性回归模型，但是担忧误差项方差是否是两个外生变量X和Z的函数.White建议弁方差由下面的误差项方差的函数所确定：y=n

8、+VX+0Z/X+Z+1.Xz+(3.1.8)不存在异方差的原假设为方程(10-21)中的系数满足用=网=四=凡=其=0,为了用Whi1.C检脸,用原始械型的残差平方和作为。2的估计.按照拉格明日乘数检验法.用方程(3.1.8)的回打计算NR1.它应当服从自由度为5(f)2分布，其中数5是原假设中限制条件的个数，实际1体时最小平方估计的残差平方进行辅助I可归，用e：的滞后项的平方e2e和常数项作I可归，然后按轴助网归结果显示的F计算1.U统计麻.在弁方差的原假设H1.:%=4=%=0的前提下，N1.具有渐近/(P)分布,当XRJ大于/(p)分布的临界他时,接受模型随汉误差项中存在ARa1.的影

9、响作用.3.1.4方型模型中的PT个参数的“效估计3.1.4.1极大似然估计法3.1.4.2广义最小平方法步骤：(I)O1.S估计原模型，估计参数夕，得到模型度差&:(2)用e：对e5,0要求0a,O,f-I,3.I.10),NO,/=1,p用GARCII(p,q)来发示阶数为P和q的GARCH过程.相对于ARC1.I,GARCH模蟹的优点在于：可以用较为简单的GRRCH模型来代衣一个瑞阶ARc1.1.模型，从而使得模型的识别和估计都变得比较容易，其原因是：常常有理由认为W的方差依敕户很多时刻之前的变化信，但这样的话，我们必须估计很多参数，而这一点很难做到。我们能意识到方程(3)不过是o：的分

10、布滞后模型，我们就能够用一个或两个的滞后(ft代替许多&的滞后位，这就是广义自仲1归条件异方差模型(genera1.izedautoregressiveconditiona1.heteroscedasticitymode1.简计为GARCH模型),GAReH模型也可以用极大似然(占计法进行估计.最简单的GARCH模型是GARCH(I,1)模型为：.j=a,+a1+,1(3.1.11误差项的方差现有：个组成局部：一个常数攻.前一时刻的变化项(ARCH顶)，以及前一时刻的方差(GARCH顶).因为其实旗上是一个几何滞后模型，所以只要小于1,可以把3.1.11)式改写为b=7+SZ1.3.1.12,-换句话说，此刻的方差以几何卜降的权重依赖于过去所有的误差变化房.一般情况下,我们可以有任意多个ARCI1.项和GARCH项,GARCH(P.q)模型表示为：+0.033299GPHn,t-FW1.tR-、IEsIDependentVan