用函数极限的定义证明.docx

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1、用函数极限的定义证明任意给定0,要使If(X)-A|0,使当0xr00,使当0-e6时,有使(x)Te。即当X趋近于e时，函数f(x)有极限1说明一下：1)O-e,是不需要考虑点x=e时的函数值，它可以存在也可不存在，可为A也可不为A。2)用-5语言证明函数的极限较难，通常对综合大学数学等少数专业才要求。1.im(sinx/X)=I(XfO)证明：以1为半径，X为角度，画扇形OAB,。为圆心，A、B为弧长端点。过A作垂线AD垂直OB,作B点切线，延长OA与过B的切线相交与EoX(0,/2),AD=sinx,BE=tanx,OAB面积=x/2。OAD面积=sinX/2OBE面积=tanx/20A

2、D0AB0BEsinx2x2tanx/2一sinxx1/xcosx/sinx,同乘以sinx-*1.sinx/xcosx,Xfo+,CoSXf1,由三明治定理f1.im(sinx/x)=1。当Xfo-,令t=-x,t0+,sin(-t)/(-t)=-sint/(-t)=sintt(-t-*0j1.imsin(-t)/(-t)=(t-O+)1.imsint/tIimcosx=1.(x-*0)(xf0)Iimtanx/x=(sinx/cosx)/x=(sinx/x)(1.cosx)=1.当X很小的时候，sinx、tanx与X很接近。(XfO)1.im(1.-cos2x)/x2-sin2xx2=(sinxx)2=1.(XfO)1.im(1.-cosx)/X=(1.-cosx)/x)(1.+cosx)/(1.+cosx)=(sin2xx)(1/(1.+cosx)=sinx(sinx/x)(1/(1.+cosx)-0*1.*(1.(1.+1.)=0o(x-oo)iimsinxx=0(x)Iimcosxx=OX-8,X的多项式有正余弦，不影响多项式的次累。