傅里叶变换性质证明.docx

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1、2.6傅里叶交换的性质线性若信号U1.和Mt1.的傅里叶变换分别为FjM和FJo),FIMt)1.-F.().FIfJtH-FJff1.I则对于随意的常数a和b,有FIafJthfJt)1.-aFJd)+bFJf1.)将其推广，若F1.Ht)I也i-1.2,3.n,则尸WMa)=&3)其中&为常数，n为正整数。由傅里叶变换的定义式很简洁证明线性性质.明显傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：匀称性和叠加性。匀称性表明，若信号乘以常数a,则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a,即F(t)-aF(/)叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和尸/)

2、/,F(f小伉反褶与共辑性设f(t)的傅里叶变换为尸【口(，尸”下面我们来探讨信号反褶、共舸以与既反褶又共挽后，新信号的傅里叶变换。(1)反褶f(r)是f(t)的反褶,其傅里叶变换为巴F卜二F，五成jf(r)=匚，(仪办-A/(x-,-Fo(2)共)11(0-匚八33成=Jn/c1.r凄=白母叫(町=匚/(犷，一可-FS国为南是实数，所以mt)-dc将共新提到枳分之外根相傅里叶变换的定义(3)既反褶乂共辄Ir(Y)J=匚)(Ar空(Z(X)CRq=尸)本性质还可利用前两条性质来证明：设g(t)=f(-t),h(t)=g*(t),则c()(2-33)显然)-t*()+X,()-2/(1.)cos

3、atd可见，若f(t)是实偶函数，则Fo也是实偶函数，即F(-Q)-F(G)-F,(1.左边反褶，右边共轨(1.2)f(1.)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t)RS)的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时R(3)=0,于是尸)-2JOSin(HW可见，若f(t)是实奇函数，则FG)是虚奇函数，即左边反褶,尸()=A=*/()cosw-P/（三）Sincwdi右边共枕有了上面这两条性质，卜面我们来看看一般实信号(即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清晰，或者说是没有必要关切信号的奇偶特性)的FT频谱特点。对称性傅里叶变换与傅里叶反变换之间存在着对称关系，称为傅里叶变换的

4、对称性质。若已知F()=Ff(t)1.则有Ff(t)=2Jif(-)证明：因为于是-t)AAR将变量t与互换，再将2乘过来，得上式右边是傅里叶正变换定义式，被变换函数是F(t)所以FF(t)=2f(-)若f(t)为偶信号，即f(t)=f(-t),则有FF(t)=2f()从上式可以看出，当f(I)为偶信号时，频域和时域的对称性完全成立一一即全t)的频谱是FQ),全t)的频谱为fQ).若f(t)为奇信号,即f(t)=-f(-t),则有FF(t)=-2f()利用FT的对称性，我们可以很便利地一些信号的傅里叶变换。下面我们举些例子来说明这一点。事_一一一注2ItHEO什耐E.利用号SS果红号GS果时耍

5、第.M：巴,grfiW里sA力，II，u)M.ISrtWjOtiFc4AF.rt三11rt114.一mJK1.II1.niWIttI.删SUW/t划HtJtgBWt划，*:已知制MWf1.1.W)傅叶*IIEWNW惟.erM呵心皿Q,)151小孙B式M却Sa1.wHH&A高力加E*.MMgAN则皿11B?示.S)%0%rRk-12M索EWWR例2S-fJ?.有E1-2、/sgn(-a)-J*s8（八）尺度变换若Ff(t)=F(),则e=(？这里a是非零的实常数。下面利用FT的定义与积分的性质，分a0和a0时aaF1.fM三-f(xjidxN-IF(一)当aTa%下面进行证明证明：EFf(t-t

6、0)三J2f(t-t0)e”dt令t-t0x.。国Ff(tjt0)=Ff(x)=ff(x3FxJ8=，3、/f(-dXJ-CO上式右边的枳分项为俾里叶变换定义式,于是可以得到RWMe）卜户（o/同理可以得到FWftJkF（O）/2.6.7时域徽分若Ff(t)=F(),则尸惜卜M(0)-(j(D)aF(OJi)证明：因为仇)*2AFg,两边对t求导，可得誓(口,叫曲F1.1.)所以I*I尸字GF0)同理，可以推出1.dtJ由上可见，在时域中f(t)对t取n阶导数等效于在频域中f(t)的频谱F3)乘以(j)n下面举一个简洁的应用例子。若已知单位阶跃信号U(I)的傅里叶变换，可利用此定理求出(t)的

7、FTFUW1.-T-*()Je+()-频域微分若Ff(t)=F(Q,则尸等卜-皿0尸笠黑卜(-/)Va)证明：因为/(3)=j-Wg?两边分别对3求导，可得J-co所以=(-)(0诡e利用今垓带分叫求乂行.w：窗干11t*JG)，IItKH赛“分情低m讨K-Jg”(3)再由EMt性可得)时域积分若M)1=阴，用fM卜助TF+小(OKg)三iiF1.fs以d=C1.f(rK+J成=口/(r)”r)”e%刻UP多次序，开Ja利用船践，XQ的伸展。，芟n美星式W1.-r)-?!工/(。【口f3蜀怎-An力Wdr(jajy1.F(d)*HFe)S(出)愫割域，B累胆走(O=Q效第界则F4X1.(rMr

8、(j0)b（八）27利用11城古分修性中F加(t”.*：由于”，只P-J二狈城由打熏由分幡中可5(t)-c5()j嘎可见，这与利用符号函数求得的结果一样。领域积分若Ff(t)=FG),则有(0)（三）*-/(O-7时域卷积定理乱加，知面】t齿仿韧d(O*(I=YM*“康1.Ute蜕IOI1.Tf1.55义)=工工qDC.2小卜-匚工(尸伍WBcxomw)=F伉二工（沙一加机供于做芟解信函8好）尸伉卜网以=F伉（以fA（0g定幻由上可见，带1的3U卷出的疝”与僮艇期M餐职，也就昊说，百慎号时或包积警效于娱诺帽9t,-t领域卷积定理与时域卷积定理类似，叫工”伉.山M证明方法同时域卷积定理，在这里不

9、在重夏，同学们可自己证明。由上可见，两个时间函数频谱的卷积等效于两个时间函数的乘积。或者说，两个时间函数乘积的频谱等于各个函数频谱乘积乘以1.2o明显，时域与频域卷积定理是对称的，这是由傅里叶变换的对称性确定的。2.6.13帕斯瓦尔定理前面我们在讲信号分解时，提与帕斯瓦尔定理。下面我们来探讨一下该定理在FT中的详细表现形式。若Ff(t)=F（八）,则a1.a_9Aya)I力。)Ido=APQ这就是帕斯瓦尔定理在傅里叶变换中体现，它表明白信号的能量在时域与频域是守恒的。下面利用FT的定义和性质，推导信号能量的求解。AVa)IJ拉工/(O/.-/(0=(二产(e-Rde卜I1.FT定义)(交换板分次序1(FT定义白JF(。)亿/(0*,p)3t?式中匚火川后是信号f(t)的总能量，IP闻F为信号f(t)的能量谱密度。帕斯瓦尔定理表明，这个总能量既可以按每单位时间的能量f(t)2在整个时间内枳分计算出来，也可以按单位频率内的能量IP)”2在整个频率范围内积分来得到。此定理也可以如下证明。由相关性定理可得/(r)/(r-/)/r-p7()f9iatd取t=0,即得帕斯瓦尔定理。