傅里叶系数的推导.docx

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1、傅里叶级数的数学推导但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬。一打开信号与系统、锁相环原理等书籍，动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”，弄一长串公式，让人云山雾罩。如下就是傅里叶级数的公式：/(/)-+qCos（三）+4sin(d)+02cos(2t)+b2sin(2f)+.+4CoSOjOr)+Z,sin马.7=-/O)C0S(7JtXiT%bn=1J：/(f)sin(rf)dt不客气地说，这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布一一又臭又长”，而且来历相当蹊跷，不知那个傅里叶什么时候灵光乍现，把一个周期函数f

2、(t)硬生生地写成这么一大堆东西。单看那个式，就是把周期函数f(t)描述成一个常数系数aO、与1倍3的Sin和CoS函数、2倍3的sin和cos函数等、到n倍3的Sin和cos函数等一系列式子的和，且每项都有不同的系数，即An和Bn,至于这些系数，须要用积分来解得，即式，不过为了积分便利，积分区间一般设为-4，”，也相当一个周期T的宽度。能否从数学的角度推导出此公式，以使傅里叶级数来得明白些，让我等能了解它的前世今生呢？下面来具体说明一下此公式的得出过程：1、把一个周期函数表示成三角级数：首先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电了振荡器的电子

3、振荡等，大多可以表述为：f(x)=Asin(t+)这里I表示时间，A表示振幅，为角频率，为初相(与考察时设置原点位置有关)。然而，世界上很多周期信号并非正弦函数那么简洁，如方波、三角波等。传叶里就想，能否用一系列的三角函数AnSin(n3t+4)之和来表示那个较困难的周期函数f(t)呢？因为正弦函数Sin可以说是最简洁的周期函数了。于是，俾里叶写出下式：(关于傅里叶推导纯属猜想)/（三）=+YSinQto+)这里，t是变量，其他都是常数。与上面最简洁的正弦周期函数相比，5式中多/一个n,且n从1到无穷大。这里f(t)是已知函数,也就是须要分解的原周期函数。从公式5来看，傅里叶是想把一个周期函数

4、表示成很多正弦函数的线性叠加，这许很多多的正弦函数有着不同的幅度重量(即式中An)、有不同的周期或说是频率(是原周期函数的整数倍，即n)、有不同的初相角(即),当然还有项常数项(即AO)。要命的是，这个n是从1到无穷大，也就是是一个无穷级数。应当说，傅里叶是个天才，想得那么困难。般人不太会把一个简洁的周期函数弄成这么一个困难的表示式。但傅里叶认为，式了右边大堆的函数，其实都是最简洁的正弦函数，有利于后续的分析和计算。当然，这个式能否成立，关键是级数中的每一项都有一个未知系数，如M)、An等，假如能把这些系数求出来，那么5式就可以成立。当然在5式中，唯一已知的就是原周期函数f(t),那么只需用已

5、知函数f(t)来表达出各项系数，上式就可以成立，也能计算了。于是乎，停里叶首先对式5作如下变形:ASin)=sm(cos(3T)+Ancos,sin(d)这个变版并不陌生,源自于三角公式：sin()=sin-cosJcossin?式中.蓝色项4nsin牝和4cos(均为常数.写作q=4sin%=41.这个公式6就是通常形式的三角级数，接下来的任务就是要把各项系数an和bn与a用已知函数f(t)来表达出来。2、三角函数的正交性：这是为下一步傅里叶级数绽开时所用积分的打算学问。一个三角函数系：1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,cosnx,sinnx,假如这一堆函数(包括常数D中任何两

6、个不同函数的乘积在区间-x,上的积分等于零,就说三角函数系在区间-贡，兀上正交.即有如下式子：cosnxdx=0jsinnxdx=0sinAxcosnxdx=0coskcosnxdx=0sinkxsinnxdx=0S=1,2,3,.)S=1,2,.)(A,=1.2,0)(Jc,n192,39.tkn)(A,11=2,3.A)以上各式在区间-又，靠的定积分均为0,第1第2式可视为三角函数cos和sin与1相乘的积分：第3-5式则为sin和cos的不同组合相乘的积分式。除了这5个式子外，不行能再有其他的组合了。留意，第4第5两个式中，k不能等于n,否则就不属于“三角函数系中随意两个不同函数”的定义

7、了，变成同一函数的平方了。但第3式中，k与n可以相等，相等时也是二个不同函数。下面通过计算第4式的定积分来验证其正确性，第4式中二函数相乘可以写成：coskxcosrvaix=；cos(+n)x+CoSar-)这个就是三角公式中的“积化和差”当kwn时，有：，coskx-cosuxdx=JCoS(A+i)+cos(k-n)xdx_1rsin(+n)xsin(-)阳.=21.k+n+k-n1-,=0+0=0可见在指定卜的区间里，该式的定积分为0。其他式也可逐一验证。3、函数绽开成傅里叶级数:先把傅里叶级数表示为卜.式，即式:/()=+14cos(tot)+“Sin(Wrf)2-1对式从1n,积分

8、，得:(0.,+,cos(zjr)+SinoW)2I=r+oJ-，2=y2X=ff上式右边第二个积分项,由于三角函.致系的正交特性各项在-k到月积分时，均为。，所以有：4=打：/(9这就求得r第一个系数a的衣达式，即最上边傅里叶级数公式里的式。接卜,来再求an和bn的表达式。用cos(kQt)乘式的二边得：COS(jtf)-/(1)-COS1.jtaM)2*+、14co(i)co(r)cos(itwr)8in(ntMr)然后对上式从-开到,项积分：cos(k(f1.)f(t)dt=与JCosikff1.”力+(-1*cos(kd)co(ftrk+“Icosik(et)-sin(kfiI同样，根

9、据三角函数系的正交性,红色项积分为0蓝色项里仅当k=n这一项积分不为0,其余以也为0,所以有：os(ftf)()=a,J,cos(kat)-CoSOJar)=41co(nca)=彳j：(1.+cos力Ua)t=B1.2=q1.从而有：(杷k写n)4cos(Mzar)/(f)df11i-同样,再把式二端乘以Sinad).可以得到：.=fsin()（三）iJ-,至此，已经求得傅里叶级数中各系数的表达式，只要这些积分都存在，那么式等号右侧所表示的傅里叶级数就能用来表达原函数f(t)上述过程就是整个傅里叶级数的推导过程。事实上，假如能够写出式，不难求出各个系数的表达式，关键是人们不会想到一个周期函数竟

10、然可以用一些简洁的正弦或余弦函数来表达，且这个表达式越一个无穷级数。这当然就拙数学家傅里叶的天才之作了，我等只有舍命理解的份了。综上，傅里叶级数的产生过程可以分为以下三步】1、设想可以把一个周期函数f(t)通过最简洁的一系列正弦函数来表示，即5式；2、通过变形后用三角级数(含Sin和COS)来表示；3、通过积分，把各未知系数用f(t)的积分式来表达；4、最终得到的4个表达式就是傅里叶级数公式.在电子学中，傅里叶级数是一种领域分析工具，可以理解成一种困难的周期波分解成直流项、基波(角频率为S)和各次谐波(角频率为ns)的和，也就是级数中的各项。一般，随着n的增大，各次谐波的能量渐渐衰减，所以一般从级数中取前n项之和就可以很好接近原周期波形。这是傅里叶级数在电子学分析中的重要应用。