人教版高数选修4-5第2讲：证明不等式的基本方法（教师版）.docx

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1、证明不等式的基本方法教学重点：句(比较法、综合法和分析法、反证法和放缩法的方法：教学难点：理解放缩法的解地及应用.1、比较法：所谓比较法，就是通过两个实数“与人的差或商的符号(范圉确定“与人大小关系的方法，即通过“a-0，a-b=Oa-b()t或-=1,3x解析：.+3)-3x=a2-3+(一)i-(一)i+3=(.V-)2+-O2224x2+33x答案，见解析练习】.已知,b,m都是正数，并口。+nb-ajrtnab(a+n)-a(b+nr)m(b-a)答枭：=b+mb励+1)b(h+m).b,m都是IE数，并且O,b-oQ二迹20即：1.(b+m)h+mb练习2.已知,b都是正数,并且。W

2、E求证：oi+bsj*2答案：(o5+bs)-(2bj+o3b1=(s-aibi)+(bs-a2bi)5(2-b2)-b5(o2-b2)三(2-b2)(,-bi)=(o+b)(o-b)2(2ob+b2),.0,8都是正数，0+6,0+岫+0又.Hb,(-b),O(*6K-6)V+b+b,)0Whos+saibiaib2例2.已如。，b,c是不全相等的正数，求证：解析：bz+c22fec,0,J.a(b2+c2)2obc同理b(c2+ai)2abcc(a2+bz)2obc因为,b.C不全相等.所以从+?22c2+a22ca,滔+从N2ob三式不能全取“”号，从而、三式也不能全取“一号.答案：见解

3、析.练习3.已知。，b,C郴是正数，且。，b,c成等比数列，求证：,J+/(-/,+,N答案；左一右=2iab+bc-ac)Vorb,C成等比数列，b2=ac又.o.b.C祐是正数.所以0Z)=痴Wv4+c例3.求证JJ+72有解析：因为J5+7和2石都是正数，所以为了证明J5+72J5只需证明(6+、5(2石/艇开得10+2220即2向10,2125因为2125成立，所以(6+尸(25f成立即证明白J5+、厅0时,欲证原不等式成立.只需证(0c+儿/(?+/)(/+，)即证a2c1+2abcd+bdac2+ad+bc+b2di即让2.t,dbc+ad即证O(尻-)2因为a.b.c.dR.所以

4、上式恒成立，综合(1)、(2)可知：原不等式成立.类型二：反正法和放编法证明不等式例4.若Q1b,c,dwR*求证：解析：(用放缗法)记m-J+;-+-+-a+b+db+c+ac+d+bd+a+cVo,b.c,d三R,1m2时,求证：Iog11(”-DIog115+1)21.ogn(11-1.)0.1.ogn(11+i)0；.”2时，1.og/n-1.)1.ogn(z+1.)1.例5.设Oo,b,c1.,(1.-b)c1.,(1.-c21,444则三K相乘：(1.-o)b(1.-b)cU-c)一64r+又.Oa,b.c1OO,abbc+co0,GbC0,求证：orb,o0答案：(用反正法)设。

5、0,bc0,则b*c-0:ob+be+c=cr(b+c)+be0冲突，必有。0同理可证bQ,c01 .设o,b,d(1)求证：va+b?*1.S+0)2(2);代证：+b2+2+C2+7c+2(a+b+c)(3)若。bn1,求证:(2)同理：v*+c2-(b+c).c2+2-(c+a)22三式相加：+yb+c2+Vc2+f2(+c)(3)由部平均不等式:2.o,b,ccR,求证；(1)(+Z+e)(-+-+-)9abc1119(2)(+c)(+)-a+bb+cc+a2(3)b+cc+a1-2两式相柒即得答案：(1)法ra+b+c3iai,法二：左边=+a+b+ca+b+c方3+2+2+2=92

6、 2)V+等+-(a+b)+c)(,c+c)3：两式相乘即忠(+8)S+c)(c+a)(3)由上感：(+b+c)(-+-+-)-a+bb+cc+a2a+bb+cc+2b+cc+ta+b2答案：(用放缩法)4,yu,=：+),b=*+?,求证：oO.f1.x+y2,则上工和土土中至少有一个小于2Xy答案；反证法：设上2,2Vx,yO,可得x+y2与x+y2冲突X巩固1.设bwR3求证：abh(ab)a,ba答案：作商：-=-b2=);(ab)2a-b当o:b时，()2=II“-6当bO时，1,0,(方丁13 .设Ovo,b,c1.,(2-b)o1.,(2-c)b1.M(2-)c(2-b)o(2-

7、Gb1.(D又因为没0g,5-1.)1.OgBs+1)0,r0.2.壮产1.求证：-+-3+226.求证3+Cg(M-1.)1.ogw(M+)答案：9+60.+70为了证明原不等式成立，只需证明（向+正尸（次+即15+2宿15+2病,只需证明病+c-c+a-bab-c答案：由不等式的对称性，不妨设“Nc,则“+-力c,则1.+-oa-bb-cc-a答案：r+-:2,2a-bb-c(a-bb-c)a一b)+(h-c)a-c9 .证明-+n1.i+1n+2+1(HGR*,n2)I1.答案：左边-4f+f+nftr10.证明！*一+一2f+1.n+2答案：一n2nz+1.n+2+.+.nO,且cr2

8、+板=c2,求证；on+1.f3,ncR,)答案：虫HE）=1.又。Y）土）,电吧HgH沪冏=5+12 .若Ox|bg“(1.+x)|(aOH,aI)答案：1当”1.时，因为OV1.-XVU+x1.,所以Qg(DHbga(I+刈(2当O1.时，因为01.所以IIOg式I-X)HIOga(I+到综合(I)(2)Iog(1.-x)fogt1.(1.+).13 .O.求证：aahfaf,b.答案：喏=（）5又.abbuO,14 .对于随意实数a、b.求证上Q（空4）（当且仅当=%时取等号）22答案：*./+Z2/（当F1.仅当/=从时取等号两边同加(4+):2(a,+b1.)(-+y,即：啜2（啜/g,a+b=.求证：(+-+(+尸21.答案：,.a+b=1=(+b)z=a:+b2+2ab2(az+h1)又,*，+*=（+，）?（，+）X2Cy=817 .甲乙两人同时同地沿同一路途走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，先一半时间以速度行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度”行走，假如mn,问：卬乙