weierstrass定理.docx

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1、Weierstrass定理外尔斯特拉斯定理，即波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，是数学拓扑学与实分析中用以刻划Irn中的紧集的基本定理，得名于数学家伯纳德波尔查诺与卡尔魏尔施特拉斯。波尔查诺魏尔斯特拉斯定理说明，有限维实向量空间Irn中的一个子集E是序列紧致（每个序列都有收敛子序列）当且仅当E是有界闭集。波尔查诺魏尔斯特拉斯定理可以视为刻画有限维实向量空间disp1.aysty1.emathbbRXn中序列紧致集合的定理。波尔查诺一魏尔斯特拉斯定理的核心部分可以仅仅使用序列的语言来表示：定理1:任一中的有界序列都至少包含一个收敛的子列。从这个定理出发，在给定的有界闭集F中任取一个序列，那么这个序列是

2、有界的，从而至少包含一个收敛的子列。而从F的封闭性可知，这个子列作为F的一部分，其收敛的极限必然也在F中。所以可以推知：推论：任一中的有界闭集必然序列紧致。这个推论给出了中集合序列紧致的充分条件。另一方面，可以证明序列紧致的集合必然是有界闭集。这样就将充分条件推进为充要条件：定理2：中的一个子集E是序列紧致的，当且仅当E是有界闭集。由于有限维赋范向量空间都与装备了欧几里德范数的同胚，所以以上的定理都可以扩展到任意有限维赋范向量空间。在有限维度量空间中，波尔查诺魏尔斯特拉斯说明了序列紧致的集合就是有界闭集。然而在一般的度量空间中，有界闭集不一定是序列紧致的。为此，拓扑学中将一般度量空间中的序列紧致称为波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质。定义：设K为度量空间的子集。若K中任一序列都包含一个收敛的子列，其极限也是K中元素，就称K具有波尔查诺魏尔斯特拉斯性质。如果度量空间本身满足波尔查诺魏尔斯特拉斯性质，就称这个度量空间为紧空间。在度量空间中，波尔查诺魏尔斯特拉斯性质等价于海恩一波莱尔性质：所有K的开覆盖都有限子覆盖。