专题04 几何最值存在性问题（解析版）.docx

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1、专题四几何最值的存在性问题【考题研究】在平面几何的动力问中，当某几何元素在蛤定条件变动时，求某几何量(如线段的长度、图形的局长或面积、角的度效以及它们的和与差)的大值或量小值恸A1.彝为值问从历年的中考数学压轴题S!分析来看，短常会考查到年育或者两条线段和差值得问愿，并且这部分JB目在中考中失分率握育，应该引起我们的视.几何值问题再做材中虽然没有进行专JI讲解，到却给了我们很多解题模S1.因此在专题究习时进行压轴训练是奥要的.【解题攻略】值问JS是一类*性较强的向题，面线段和(差)Af1.要归归于几何模S1.(1)归于“两点之间的连钱中，线段量短”凡K于求“更动的两钱段之和的小值”时，大都应用

2、这一模型.(2)归于三角彩两边之差小于第三边”凡K于求”变动的两线段之差的量大值”时.大都应用这一模型.两条动线盘的和的小值向愚，常见的是典型的“牛水”向题，知是指出一条对称轴“河流”(如图1).三条动线段的和的量小值向I1.常见的是典型的“台球两次磁鼻”“光的两次反Ir问题，关值是指出两条对称轴“反射储面”(如图2).两条微段差的量大值向黑，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条经段差的量大值就是第三边的长.如图3,4与用的差的最大值就是典此时点P在的延长线上，即户.解决线盘和差的最值问,有时候求函敷的值更方便，建立一次函敷或者二次函数求J1.I最值向.图1【解题类型及其思路

3、】解决平面几何值Wf1.1.的常用的方法有，(1)应用两点间编段4H8的公理(含应用三角形的三动关JK)求值I(2)应用IMUHMa的性质求量值I(3)应用轴对稼的性原求41.(4)应用二次函数求量Mh(5)应用其它知识求值.【典例指引】类型一【确定线段（或畿段的和，差）的最值或确定点的坐标】【典例指引1】.如图，在平面亶角坐标系中，长方形OABe的1点A、C分别在X轴、轴的正半轴上.点B的坐标为（8,4）,将该长方形沿OB折，点A的对应点为点D,OD与BC交于点E.（0证明1EO=EB（11）点P是直线OR上的任意一点，且AoPC是等腰三角形，求法足条件的点P的坐标I（HI）点M是OB上任,

4、一点，点、是OA上任意一点，着存在这祥的点M,N,使得AM+MN量小，请直接写出这f小值.【管案】（I）证明见解析：（I）P的曲标为（4,2）或（包叵，生）或P（-当,-生）55557、/68、八”、32或（）：（H1.）-T.55、KM*r1.分析：（I）由折叠得到NDoB=NAOB,再由BC0A得到NOBC=/AOB.即/OBC=NDOB.即可：（II）设出点P坐标,分三种情况讨论计算即可:（11）根据题意判断出过点D作OA的垂线交OB于M.OATN.求出DN即可.详解：（I）；将该长方形沿OB翎折，点A的对应点为点D,OD与BC交十点E./DOB=ZAOB.VBCZzOA.二ZOBC=Z

5、AOb.ZOBC=ZDOb.AEO=EB:Y点B的坐标为8.4）,二出线OB解析式为=；x.；点P是直线OB上的任意点.i殳P(a.a).2VO(0.0).C(O.4).OC=4.P(P=aj+-=-aj.PCj=a+(4-a)i.242当AoPC超等腰.角形时，可分三种情况进行付论:如果PO=PC,承么POjPCM则a?=/+(4-a)1.解价a=4.即P(4.2)：42如果PO=OC,那么PO=OCj则3a=i6.好/a=：&.即P(6-5：P-5)：455555如果PC=OC时,那么PC1.=OC1.a2+2=I6.解得a=C(i),或a=.BpP(-)：2555故满足条件的点P的坐标为

6、(4.2)或(,5)或PP1.i.：)：山如图.过点D作OA的垂线交OB于M,交OA于N.此时的M,N是AM+MN的最小也的位置，求出DN就是AM+MN的小仗.由（1.）有，EO=EB,；长方形OABC的顶点AC分别在X轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（8,4）.设OE=x.则DE=8-x.在RSBDE中,BD=4,根据勾股定理得,DB?+DEXBE1.*.16+2=x2,x=5,BE=5.CE=3,.DE=3.BE=S.BD=4.VSBDE=-DExBD=-22BExIXi.DEIiD12A1.Xi=二一BE5由SS懑有，GN=OC=4,1232二DN=DGPN=+4=.55即：AM+MN的

7、最小做为方.点睹：此胭是四边形绘合题，主要考查了矩形的性质，折梯的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，极值的确定，进行分类讨论与方程思想足好本即的美U1.【举一反三】.如图，抛物线y=aC+bx+3舞过点B(-1,(O,C(2,3),撤物线与轴的焦点A,与X轴的另一M点为D,点V为线段AD上的一动点，设点M的横坐标为I.(O求拗物线的表达式I(2)过点M作、轴的平行线，交Ii物畿于点P,设线段PM的长为I,当t为何值时.I的长大，井求量大值I(先根目图，再计算)(3)在(2)的条件下，当t为何值时，PAD的面积景大？并求最大值I(4)在2)的条件下，是否存在点P.使APAD为直角三角形？着存在，

8、直按月出t的值】若不存在，393【答案2、；2i1.：时，/行最大值，/最大=7：(3)t=;时，APAD的面积的班大24227,R582(Mfr1.试跑分析：(D利用特定系数法即可解决问题:.fif1.=-P+2t+3-若不存在请说明理由(3)在坐标系内有一个点何，恰使得MA=M3=,MO,现要求在，轴上找出点。使得8Q1的周长小，请求出用的坐标和ABQM周长的量小值.【答案】)fC，女=4：(2)存在，fb=3,1.5.一号j.优卜.5亨.Aj-1.5.一2一4IP1-1.5,-2+孚)(-1.5,-0.5)：(3)(346+7(j)【分析】(I)由点A在双曲战上，可得&的值，迸而得出双曲

9、线的解析式.设3(皿：)(/0),过A作AP1.r轴J-P.BQ1.y轴J-Q.R线BQ仙T线AP相交-.,M.根据Smob=SMIt1.SV-SSgi)-Smpuq=3解方程即可得出A的值,从而得出点。的坐标,把儿8的坐标代入效物线的耕析式即可得到结论：(2)抛物线对称轴为=.5p(-1.5.v).ItI-IfiH11PO2:OB2.PBi.然后分三种脩况讨论即可:(3)设MEy).IhMO=MA=MB,可求出M的坐标.作8关于y轴的对称点片.连接夕M交y轴于Q.此时A8QM的周长最小.用两点间的冲志公式计0即可.【详解】(I)住IA(1,4)知：*-rv=4-4.X设“Im,m=率，.*1

10、5-亭)中.5,亨)：陪=(加,即1+(y+2=8.斛得：y=-2.is1叼.211.5.2+普1,QPM=OP即(+(y+2)-=j+./.科得：=-).5/.(-1.5,-O.5):轴的对称点所生标为：（2,-2）.连接交F他于Q.此时ABQM的闷长J小.当OTJ_BC时.过点T作TH_1.x轴.OT=E5VZBOT=ZBCO.gs/BQT=A=粤512T本SS是道综合题.考查了一：次函数次函数和三角形相关的知识,能络充分网动所学知识足解应的关键.类型三【确定三角形、四边形的面积最值或符合条件的点的坐标】【典例指引3】如图，已知二次西数y-x1+bx+c的IgiI与X轴交于点A(1,0)、

11、B(3,0),与y轴交于13+x2=T:.x=-2四边形v8w31.+x-=:.x=2.(2,2);S)四边%CNNB寸平行四边形时.1+3X=,X=4,捺上所述:财（22卜或,11M卜2.-果：1点Sn本即考行了恃定系数法求二次函数解析式,二次画数的图象及性质,勾股定理,平行四边形的判定与性质，及分类讨论的数学思想.熟练掌握：次函数的性侦、灵活运用勾股定理求边长、笊握平行四边形的判定方法是解烟的关键.【新题训练】1.如图，直线y=5x+5交X轴于点八，交）轴于点a过八，C两点的二次函数）=F+4x+c的图象交1轴于另一点H.求二次函数的表达式I（2.IiCt点,V是线段“.E(0,4.【所】

12、【分析】1)先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的去达式求出A,C两点的坐标，再根据特定系数法可求:次函数的表达式：2)根据坐标轴匕点的坐标特征由二次函数的表达式求出B点的坐标,根据待定系数法可求一次函数BC的表达式.设ND的长为d.N点的横坐标为n,则N点的姒坐标为-n+5D点的坐标为D(n.-M+4n+5).根据两点间的跖离公式和.次函数的双值计算可求线段ND长度的加大值：(3)由题总UJ1得二次函数的顶点匣标为H2.9).点M的坐标为M(4.5).作点H(2.9)关于y轴的府称点H”可御点H1.的坐标，作点M(4,5)关于X轴的时称点HM”可得点M1.的坐标连站HM,分别交X轴于点F,y轴于点E,可得HA1.+HM的长度是四边形HEFM的般小樨长，再根4；待定系数法可求直线HmM解析式.根据坐标轴上点的坐标特征可求点F、E的坐标.【详解】解：(1).直线y=5x+5交X轴于点A,交y轴于点3A(-1.0).C(0.5).；：次函数y=ax+4x+c的图象过A,C两点，IC=S二二次函数的表达式为y=一H+5:如解图，.OM=3,CM=JcTy+AM?-5.OCONPCM=8,当0、M.C三点在同直线时，OC有最大值8,