全等三角形的提高拓展经典题(教师版).docx

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1、全等三角形的提高拓展训练全三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等.找寻对应边和对应角，常用到以下方法：全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角.有公共边的，公共边常是对应边.有公共角的，公共角常是对应角.有对顶角的，对顶角常是对应角.两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小痢)是对应边(或对应角).要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键.全等三角形的列定方法：(1)边角边定理(S4S：两边

2、和它们的夹角对应相等的两个二角形全等.(2)角边角定理S4):两角和它们的夹边对应相等的两个二角形全等.(3)边边边定理(SSS):三边对应相等的两个三角形全等.(4)角角边定理(44S：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个二角形全等.(5)斜边、直角边定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，留意有时会添加协助线.拓展关健点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系.而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础.例题精讲板块一、截长补短【例1】已知川?C中

3、,ZA=60,BD、a分别平分ZABC和48,BDd交于点。，试推断跳、雨的数关系，并加以证明.D（21如图，点M为正三角形皿的边WJ所在直线上的Itt一点债除外），作3N=60,射线MN与NaM外角的平分线交于点N,DM与MN有怎祥的数关系？【变式拓展调缜】如图，点M为正方形Ma）的边AB上”一点,MNtDM且与/八网外角的平分线交于点N,M/）与MN有怎样的效关系？【例3】已知：如图，45C。是正方形，AFAAAFAE.求证：BE+D4AE.【例4】以8C的A8、4为边向三角形外作等边AA初、ACE,连结8、%相交于点。求证：。1平分/DO【例5】如图所示，M灰是边长为I的正三角形，M/X

4、是IN角为12(F的等三角形，以。为Dt点作一个纱的乙MDN,点A八N分别在f1.AC上，求MJWN的周长.AKMM硒形月3C。E中,AfAEtBC+DECD,/.ABC+/.AED-ISO9,求证：AD1.CDE板块二、全等与循度【例7】如图，在MftC中,/MC=60p,A/)是/4C的平分线，且AC=AB+BD,求ZAX的度数.4【例8】在等及MN中，AH=ACtIK角/八=20,在边A上取点，便V)=BC,求/MC.【例9】如图所示，在AABC中，AC-BC9NC=20%又,“在AC上，N在8C上,且清意必饰=50%Z8M=6(r,求,ZNMB.【例10】在四边形ARCD中,已知AH=

5、AC,ZABD=60,ZADB=760NBDe=2U,求ZDAC的度数.1例11如图所示，在四边形MCO中，NZMC=I2,NC八5=36、ZA8。=48,ZDBC=24,求ZAa)的度数.【例12】在正MBC内取一点。，使。八=,在BC外取一点E,使ZDBE=ZDBC,且BE=BA,求ZfiED.【例13如图所示,ZMCA=M9在MBC中,ZBAC=ZBCA=44,M为SABC内一点，使得ZAMC=16,求NRMC的度数.全等三角形证明经典50题（含答案）1 .已知：AB=4,AC=2,D是BC中点，AD是整数,求AD延长AD到E,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即BE=AC=

6、2在三角形ABE中,AB-BEvAEvAB+BESP：10-22AD10+24ADBC时，E点是射线ABQC的交点）。则：AED是等腰三角形。所以：AE=DE而AB=CD所以：BE=CE（等地加等量：，或等量减等量）所以：BEC是等腰三角形所以：角B=角C.15. P是NBAC平分线AD上一点，CB,求证:PC-PBAC-AB作B关于AD的对称点B因为AD是用BAC的平分线，B在线段AC上（在AC中间，因为AB较短）PCPB,+BC,PC-PBBC,BOAe-AB=AC-AB,所以PC-PBAC-AB16. 已知NABC=3NC,N1.=N2,BE1.AE,求证：C-AB=2BEZBAC=18

7、0-(ZABC+ZC=180-4ZCZI=ZBAC/2=90-2ZCZABE=90-Z1=2ZC延长BE交AC于F因为，Z1.=Z2,BE1.AE所以，AABF是等腰二角形AB=AF,BF=2BEZFBC=ZABC-ZABE=3ZC-2ZC=ZCBF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE17. 已知，E是AB中点，AF=BD,BD=5,AC=7,求DC作AG#BD交DE延长线于GJAGE全等BDEAG=BD=5AGFSCDFAF=AG三5所以DC=CF=2A18. （5分）如图，在A45C中，BD=DCf/1=/2,求证：术AD1.BC./延长AD至H交BC于H;BD=DC;所以:Z

8、DBC=ZftDCB;Z1=Z2;DBC+N1=N角DCB+N2;ZABC=ZACB;所以:AB=AC;三角形ABD全等于三角形ACD;ZBAD=ZCAD;AD是等腰三角形的顶角平分线所以:AD垂直BC19. （5分）如图，平分/汽70,MA1.OP,MB1.OQ,力、3为垂足，AB交OM于点、N.求证：/.OAB=AOBA因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM,且NMoA=ZMOB所以MA=MB所以NMAB=NMBA因为NoAM=OBM=90度所以NOAB=90-ZMBZOBA=90-ZMBA所以NoAB=NoBA20. （5分）如图，已知1O3GNR1.S的平分线与NCR1.的乎分线相

9、交于E,CE的连线交/1尸干D求证：ACh-BC=AB.证明：做BE的延长线，与AP相交于F点，.PABCZPAB+ZCBA=180,又.，AE,BE均为/PAB和NCBA的角平分线ZEAB+ZEBA=90oZAEB=90o,EAB为直角三角形在三角形ABF中，AEIBF,且AE为/FAB的角平分线三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形BEC中，NEBC=NDFE,且BE=EF,ZDEF=ZCEB,.三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，.DF=BC.AB=AF=AD+DF=AD+BC21. （6分）如图，/!BC中，力。是Ne43的平分线，HAB=AC+CD

10、t求证：NO=2N3证明：在AB上找点E,使AE=AC.AE=AC,ZEAD=ZCAD,AD=AD/.De=CD=AB-AC=AB-AE=BE.ADEADCoDE=CD,ZAED=ZC.AB=AC+CD,ZB=ZEDBZC=ZB+ZEDB=2ZB22(6分)如图，E、厂分别为线段/1。上的两个动点，且。IC于E,BF1.ACFtAB=CD,AF=CEtBD交AC千点M.(1)求证：MB=MDfME=MF(2)当E、尸两点移动到如图的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请赐予证明；若不成立请说明理由.分析：通过证明两个直角二角形全等，即RtDECRtBFA以与垂线的性质得出四边形BED

11、F是平行四边形.再依据平行四边形的性质得出结论.解答：解：(1)连接BE,DF.VDE1.ACTE,BF_1.AHF,.,.ZDEC=ZBFA=900,DEI1.BF,在RtDEC和RtBFA中，,AF=CE,AB=CD,RSDEC且RtZXBFA,DE=BF.四边形BEDF是平行四边形.1.MB=MD,ME=MF;(2)连接BE,DF.DEACE,BF_1.AC于F,.ZDEC=ZBFA=90,DEaBF,在RtDEC和RtBFA中，.AF=CE,AB=CD,.1.RtDECRtBFA,DE=BF.，四边形BEDF是平行四边形.MB=MD,ME=MF.23. (7分)已知：如图，DCHAB,且OOy1.,E为AB的中点,(1)求证：AAED&EBC.(2)观看图前，在不添协助线的状况下，除AEBC外，请再写出两个与4的面