全等三角形常用辅助线做法.docx

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1、五种协助线助你证全等姚全刚在证明三角形全等时有时液添加协助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难点.下面介绍证明全等时常见的五种协助线，供同学们学习时参考.一、Wt长补短-ft*,当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同始终线上时，通常可以考虚用事长补短的方法：或在长线段上鼻取一部分使之与短线等；或将短线段砥长使其与长线段相等.例1.如图1,在aABC中，ABC=60,AD、CE分别平分NBAC、ZACB.求证：AC=AE+CD.分析：要证AC=AE+CD,AE、CD不在同始终线上.故在AC上截取AF=AE,则只要证明CF=CD.证明：在AC上截取AF=AE,连接OF.AD、CE分别

2、平分NBAC、NACB,ZBC=600.,Z1.+Z2=60r,Z4=Z6=Z1.+Z2=60o.明显，AAEOAAFO,Z5=Z4=60o,/./7=180-(/4+Z5)=60在ADOC与AFOC中，Z6=Z7=60o,/2=/3,OC=OC/.DOCFOC,CF=CD.AC=AF+CF=AE+CD.事长法与补短法，详细作法是在某条线段上拿取一条线段与特定线段相等，或是将某条线亚长，使之与待定线物相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。例2:如图甲，力。/夕G点E在线段/13上，AADE=ACDe,ADCE=1.ECBr)求证：CD=A

3、gBUD图甲思路分析：DJ1.意分析：本题考杳全等三角形常见协助线的学问：截长法或补短法。2）制R思路：结论是CD=48G可考虑用“彼K补短法”中的“截长”，即在8上截取CQC8,只要再证OQA4即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。解答过程：证明：在.CD匕截取CQSG如图乙CF=CBFCE=BCECE=CE.FC叫BCE(S4S),.Z2=Z1.0义YADNBG：./.ADC+/.BCD=ISOo,：.ZDCE+CDE=90o,/.Z2+Z3=90n,Z1.+Z4=90o,.Z3=Z40在AFDE与AADE中,NFDR=AADEDE=DEZ3=Z4.FDEADE(A

4、SA),/.DF=DA,；CD=DF+CF,：.CD=AABCCIWB后的思*：遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是俄K法或补短法：截K：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。D对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第二边、之差小于第二边，故可想方法将其放在一个三角形中证明。2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如干脆证明不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在个或几个三角形中，再运用二角形三边的不等关系证明。二、中线倍长三角形问

5、题中涉与中线（中点）时，将三角形中线延长一倍，构造全等三角形是常用的解题思路.例3.已知三角形的两边长分别为7和5,那么第三边上中线长的取值范围是（）.分析：要求第三边上中线的取值范围，只有将将中线与两个已知边转移到同个三角形中，然后利用三角形的三边关系才能进行分析和推断.解：如图2所示，设AB=7,AC=5,Be上中线AD=x.延长AD至E,使DE=AD=x.AD是BC边上的中线，.BD=CDZADC=ZEDb（对顶角）ADCEDB/.BE=AC=5.ABEqAB-BEAEAB+BEBP7-52x7+5/.1x2AD,由图想到：AB+BDAD,AC+CDAD,所以方AB+AC+BD+CDAD

6、+AD=2AD,左边比要证结论多BD+CD,故不能F脆证出此题，而由2AD想到要构造2AD,即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去图5-2证明I延长AD至Ei使DE=AD,连接BE,CEAD为ZiABC的中线（已知）/.BD=CD（中线定义）在ZiACD和Z1.EBD中BD=CD（B1.iE）NI=NX对顶角相等）AD=ED（辅助线作法）/.ACDEBD（SAS）/.BE=CA（全等三角形对应边相等）.在aABE中有：AB+BEAE（三角形两边之和大于第三边）.AB+AC2ADo6、分析：欲证AC=BF,只需证AC、BF所在两个三角形全等，明显图中没有含有AC、BF的两个全等三角形，

7、而依据题目条件去构造两个含有AC、BF的全等三角形也并不简单。这时我们想到在同一个三角形中等角对等边，能够把这两条线段转移到同一个三角形中，只要说明转移到同一个三角形以后的这两条线段，所对的角相等即可。思路一、以二角形ADC为基础三角形，转移线段AC,使AC、BF在三角形BFH中方法一：延长AD到H,使得DH=AD,连结BH,证明aADC和4HDB全等，得AC=BHo通过证明NH=NBFH,得到BF=BH。证明：延长AD到H使得DH-AD，连接BH丁D为BC中点/.BD-DC在aADC和ZHDB中AD=DH/ADC=乙BDHBD=CD：.ADCHDB(SAS)AAC=BH,ZH=ZHAC/EA

8、=EF.ZHAe=ZAFE又.ZBFH=ZAFe/.BH=BF/.BF=AC方法二：过B点作BH平行AC,与AD的延长线相交于点H,证明ADC和AHDB全等即可。小结：对于含有中点的问题，通过“倍长中线”可以得到两个全等三角形。而过点作已知直线的平行线，可以起到转移角的作用，也起到了构造全等三角形的作用。思路二、以二角形BFD为基础三角形。转移线段BF,使AC、BF在两个全等三角形中方法二：延长FD至H,使得DH=FD,连接HC。证明ACDH和4BDF全等即可。三、作平行线当三角形问题中有相等的角或等腰等条件时，可通过作平行线将相等的角转换到某一个三角彩中得到另外的等*三角彩或相等的角，从而为

9、证明全等供应条件.例7.如图3,在等腰AABC中，AB=AC,在AB二截取BD,AC延长线上截取CE,且使CE=BD.连接DE交BC于F.求证：DF=EF.图3e分析：要证DF=EF,必需借助三角形全等.而现有图形中没有全等三角形.由等腰三角形条件，可知B=ACB,作DH/AE,可得/DHB=NACB.则ADBH为等腰三角形.证明：作DH1.AE交BC于H.ZDHB=ZACB,VAB=AC,ZB=ZACBZDHB=ZB,DH=BDVCE=BD/.DH=CE乂DHMAE,ZHDF=ZEZDFH=ZEFc（对顶角）/.DFHEFC(AAS).DF=EF四、朴全图形在一些求证三角形问题中，延长某两条

10、线四（边）相交，构成一个封闭的图形，可找到更多的相等关系，有助于问题的解决.例8.如图4,在AABC中，AC=BC,ZC=90o,BD为NABC的平分线.若A点到直线BD的距窝AD为a,求BE的长.分析：题设中只有条已知线段AD,且为直角边，而要求的BE为斜边.要找到它们之间的关系，需设法构造其他的全等三角形.证明：延长AD、BC相交于F.由BD为NABC的平分线,BD1.AF.易证AADBgZXFDB.,.FD=AD=aAF=2aNF=NBAD又NBAD+NABD=90,ZF+ZFAC=900.ZABD=ZFAc.BD为NABC的平分线ZBD=ZCBE.ZFC=ZCBE,而NECB=NACF

11、=90,AC=BC.ACFBCE(ASA)/.BE=AF=2a五、利用角的平分线4*构造全等角的平分线是角的对称轴，在证明全等过程中不仅供应了两个相等的角，还看一条公共边，利用角的平分线在角的两边上取相等的线段，或向两边作者线，对称构造出全等三角形是常用的证明方法.例5.如图5,在四边形ABCD中，已知BD平分NABC,ZA+ZC=180n.证明：AD=CD.B图5E分析：山角的平分线条件，在BC上截取BE=BA,可构造AABD”EBD,从而AD=DE.则只要证明DE=CD.证明：在BC上截取BE=BA,连接DE.由BD平分NABC,易证AABDqZSEBDAAD=DEZA=ZBEDZA+ZC

12、=1800,ZBED+ZDEC三180oZDEC=ZC,ADE=CD/.AD=CD2、已知，如图2,Z1=Z2,P为BN上一点，I1.PD_1.BC于炊D,ABRBC=2BD。求证：ZBgZBCP=I8。A图2证明：过点，作PE垂直BA的延K线于点,如图2-2.,Z1=Z2.且血1.BaJPE-PD,在7ZiBP8与aBPD中，PE=PDBP=BP：.Bi1.BPEFi1.BPDH1.),：.BE-BD.,.AB+BO2BD,.AB+BIDOBIBE.4B+DCB卿DC5E15FE.在f41.PB与后ACPD中，PB=PD乙PEA=4PDCAS=DC全等三角形问题中常见的协助线的作法常见协助线

13、的作法有以下几种：D遇到等腰三角形，可作底边匕的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”.2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考学问点经常是角平分线的性质定理或逆定理.4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5）截K法与补短法，详细做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.特别方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的