空间直角坐标系专题学案(含答案解析).docx

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1、第九讲空间直角坐标系时间，年月日刘老师学生签名,一、兴趣导入二、学前测试要点考向h利用空间向汽证明空间位置关系考情聚焦，1.平行与垂直是空间关系中M中要的位徨关系,也是每年的必考内容,利用空间向信判断空间位芮关系更是近几年高考时的新亮点。2.遨型灵活多样,难度为中档题且常考常新.考向鞋按：1.空间中线面的平行与垂直是立体几何中般常考资的一个:加要内容.方面考查学生的空间想象能力和选辑推理能力：另一个方面考交“向量法”的应用.2.空(B)中线面的平行与垂直的证明有两个思路：-是利用相应的判定定理和性质定理去解决：二是利用空间向此来论证。例h如图,在多面体AHC7”犷中，四边形八伙刀是正方形.Eb

2、/Mi.Eb1.bH.AB=2EF.ZFC=9(F,BF=FC,，为3C的中戊。(1)求证：FH平面EDB：(2)求证：AC，平面ED3：(3)求：面角B-OE-C的大小.【命卷立意J此题主要考查了空间几何体的线面平行查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【思路点拨】可以采用综合法证明,亦可采用向1法证明。【标准解答】如图，以H为坐标原点，分别以/加、G、F(KJ方向为X轴、y轴、Z轴的正方向建立坐标系，(1)(2)vAC=(-2,2,0),GB=(0.0,1.),ACGE=O.-.AC1GE.XACBD,且GEQBD=G,/.ACJ.平面EBD.(3)【方法技巧】1.证明线面平

3、行通常转化为证明电叫与平面内的条H线平行:2.证明线面用直通常行化为证明内城与平面内的两条相交直线条H；3、确定：面角的大小，可以先构造：面角的平面角，然后转化到一个适宜的三角形中进行求解.k以上立体几何中的常见何时，也可以采用向盘法建立空间直角坐标系，转化为向麻问题进行求解证明。应用向量法解遨，思路简单，易于操作，推荐使用要点考向为利用空间向求或线角、线面角考情聚焦11.戌戏角、践面角是高考命题的JR戊内容，几乎每年都考。2 .在各类题型中均可出现,特别以解答越为主.西于低、中档跑.考向健按：1.利用空间向以求两片面直线所成的角，直线与平面所成的角的方法及公式为：异面直线所成角颂VK90).

4、cos=1.cosI=-p.设16分别为异面直线a6的方向向量，那么ab(2)战面角WKM).Sine=cosI=-设。是百.线/的方向向量,是平面的法向矍，那么a*3 .运用空间向量坐标运算求空间角的般步骤为：(1)建立恰当的空间1角坐标.(2)求出相为点的坐标。(3)写出向累坐标，(4)结合公式进行论证、计算。(5)转化为几何结论。例2,三枝惟P-BC.PBC.1BAC.P-C-B.N为AB上一点,AB-4A,M.S分别-为PB.BC2的中点.(I)证明：CM1.SNs(I1.)求SN与平面O(N所成角的大小.C命膻立意】此题考查了空间几何体的线面与面面或口、段面角的求解以及几何体的计宛问

5、遨，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【思路点拨】建系，写出有关点坐标、向吊的坐标，(I) 计算CSV的数量枳，写出答窠：(II) 求平面CMN的法向耻，求线面角的余弦，求战面角，写出答案.【标准解答】设PA=I,以A为原点，射级AB、AC、AP分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图.那么P(0,0,1),CS,1,0),B(2,0,0),W1.,0,-),N-,0,0),5(1.-.0)222【方法技巧】空间中证明线线,线方法技,经常用向量法.(2)求筏面角往往转化成直线的方向向麻与平面的法向fit的夹角问邈来解决.(3)线面地的范明是(F-90-.因此H段的方

6、向向量与平面法向域的夹角的余弦是非负的，要取绝对值.要点考向3：利用空间向公求二面角考情聚焦，1.二面角足高考命鹿的重点内容，是年年必考的知识点.2.常以解答时的形式出现.Zrt中档区或高档题.考向集按：求二面角呆常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向状,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小.但要注意结合实际图形判断所求用足锐角还是钝角.一-其计算公式为：设m“分别为平面B的法向fit那么。与zn”互补或相等.例3：如图，在长方体A8CO-A瓦GR中,E.F分别是桢HuCG上的点,CF=AB=2CE,4DA4,=1:2:41)求异面直线EF5AD所成用的余弦值:(2) 证

7、明Ar1平面AyED(3) 求二面角人一。一的正弦值.【命题立意】本小题主要查舁面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等根底知识,考查用空间向琏解决立体几何问题的方法，考杳空间想象能力、运笄能力和推理论证能力。【思路点拨】建立空间出角坐标系或常规方法处理问起.【标准解答】方法；以A为坐标原点，AB所在直成为X轴，AD所在直规为Y轴建立空间J1.角坐标系(如下图)，设43=1.Ma0,210),R1.,2,1.).A(0.0.4),/：；1.,0(1)易得EF=IO.1)AyD=(0,2,-4).于是cos(EF.A1M=产Wi=-所以异面直线7.与人。所成角的余弦值为1(2)证明：八卢=(1.

8、2.1),m=(-1.-.4)0=(-1.；,。)于是八月E41-0.F力-0.因此,AFJ.E41.V1E。,又E4,cEO=E(3)1?：设平面Ea的法向量i=(x,y,z),那么-*=uED=O-+1.y=O不妨令X=I.可得,；=(1,2-1).由(2)可知，AF为平面AIED的一个法向量.于是CoS悖从而叫AFH所以二面角A1-ED-F的正弦假为牛要点考向金利用空间向量解决操*性问JB考情聚焦I立体几何中结论寻求结论成立的条件(或是否存在问题).能较好地考查学生的逻辑推理能力和空间融双能力，是今后考查的重点，也能很好地发达新深标岛考的特点.例册如图,B1.-Oa内有一个三棱柱ABC-

9、ABa,三梭柱的底面为隅柱底面的内接三角形,且AB是圆。的直径.(I)证明：平面A1.ACGJ.平面BBCG；(II)设AB=AA1.在BI柱Oa内随机选取一点,记该点取自三棱柱ABC-AJ1.C内的概率为p.(i)当点C在圆周上运动时，求P的爆大值；(ii)记平面AmCG与平面B：OC所成的两为。(f09).当P取最大值时，求CoSe的俯。【命膻立意】本小题主要考杳宜城与直线、在线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等根底知识：考查空间想望能力、推理论证能力、运算求好能力：考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想，【思路点拨】第一步先由线线垂出得到纹面垂直,冉中线

10、面垂直得到面面垂宜：第二步首先求出长方体的体枳,并求解-:梭柱的体积的最大值，利用体积比计算出几何概率.立体几何中我11可以利用向量处理珀度问题，立体几何中涉及的角：有异面直城所成的地、宜城与平面所成的角、二面角等。关于角的计算，均Ur归结为两个向量的夹角，对于空间向呆1石，有CQSV，方=-,利用这一结论，我IGI1.b1.们可以较方便地处理立体几何中的角的问题。【标准解答】U).AA1.平面48C,8(?匚平面八8。，；,4八，8(7,又AB是Oo的百径,.BC1.AB-又，4CCAA=A,，8C_1.平面AACG,而BCu平面CG，所以平面AACG_1.平面48CG：(II)3)设圆柱的

11、底面半径为r,那么AB=AA=2八故圆柱的体积为V=112r=2nr,设三棱柱AHe-AHc,的体枳为K,所以。=3,所以当匕取得最大值时P取得最大值.又因为点C在圆周上运动,所以当OCj.A4时，A43C的面枳最大，进而，三楼柱ABC7HC,的体积K最大，口其殿大曲为2rr2r=2r故P的最大值为,：(ii)由(i)知，P取最大值时，OC1.AB.于是，以。为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xy,那么C(r.0,0).8(0.r.0),B1(O,r,2r),.BCJ_平面向量为2),由于n1OCn1OB1rx=Ory+2rz=0A)ACC，BC=(r,.0)是平面AACG的,个法向崎，设平面

12、50C的法厮以平面B1OC的一个法向此为M=(0.-2.1),V0,90,cosO=|cos(,/?C)|=萼,方法技巧立体几何中我们可以利用空同向量处理常见的问题.此题的（三）(i)也可以采用向量法进行证明：以。为坐标原点，建立空间口角坐标系。一外2,设圆柱的底面步径为r,C(C6iO,rsinO,O),那么A8=AA1=2r,故同柱的体枳为IZ=W22r=211r，设三棱柱ABCABC的体枳为匕,所以P=2,所以当匕取得最大值时，取得最大值SMf1.e=g2rrcos0=1.cosB.所以当COSO=I时的AAAC的面枳最大.进而.三极柱ABCABc.的体积匕最大,且其最大值为-2rr2r

13、=2r,.故，的最大值为,：211【高考真题探究】1 .假设向(1.,1.,x),b=(1.,2,),满足条件(D(宓=-2,那么X=I命电立.旗】此题考察空间向量的坐标运算及向录的数量积运尊.【思路点拨】先算出。一“、2，再由向量的数取积列出方程,从而求出X.【标准解答】c-f1.=(O,O,1.-).2ft=(2.4.2),I(c-)(=-2(0,0,1.-x)(2,4,2)=-2.KP2(1.-x)=-2,解如x=2.【答案】22 .如图,在矩形ABCD中,点E”分别在线段AB,AD上，AE=EB=A尸=；=4.沿直疑E尸招YAEF用折成VAEF,使平面AEFJ.平面8尸.3 )求1.i

14、fii/fiA-FD-C的余弦值:(II)点M.N分别在战段FDBC上，假设沿J1.畿A/N将四边形MNCZ)向上翻折，使C与4虫仔,求城段EW的长。【命题立意】此麴主要考察空间点、线、面位置关系,二面角等根底知识,考查空间向量的应用,同时考查空间想望能力和运贪求解能力，【思路点拨】方法一利用相应的垂直关系建立空间直角坐标系，利用空间向量斛决问题：方法二利用几何法解决求二面角间遨和网折问题.【标准解答】方法一III)取线段EF的中点H,连结AH,因为AE=AF及H是EF的中点,所以AHJ.EF,又因为平面AEF1平面BEF.如图建立空间直角坐标系A-Xy2,那么A(2,2,22).C(10.8

15、,0),F(4,0,0),D(10.0,r0).故FA=(-2,2,22).FD=(6.0,0).&n=(x,y,z)为平面AFD的一个法向量,所1J-2x+2y+222=0“A6,v=0取z=.那么=(0.-2.0).乂平而下的一个法向1m=(0.0.1),故COS(儿1.)=#N=立.m3所以二面角的余弦值为中(II)设QW=K8N=,JE么W(4+x,0,0),8,0),-因为翻折后，C与AR合,所以CW=A,CN=,N.故.(6-.v)2+82+Oj=(-2-.v)2+22+2/,2113.得X=.a=一,(10-a)i=(2-a)i+62+(22)i443 .如图.在四极锥AABCD中,底面