-虚位移原理讲义.docx

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1、第十四章虚位移原理一、回忆:液压升降台如下图，求油压举升缸筒的拉力。此题目是物体系平衡问题图（八）1 .取缸筒为争论对象M(F)=O求出FGB2 .取CG、DE+缸筒为争论对象M(F)=O求出FC8(b)(C)3 .取整体为争论对象M(F)=O求出FAB4 .取杆BD为争论对象M(F)=O求出FK85 .取杆DE为争论对象M(F)=O求出FOJ1.由上分析可知：(I)用静力学中求解物体系统平衡问题的方法求解，需要选取5次争论对象，列5个方程，求解过程较为简单。(2)运算过程中消灭了4个题目并不需要求解的约束反力，称之为中间变量，消退这些约束反力，才能得到要求的量。问题有无别的方法求解物体系统的

2、平衡问题而这种方法又能避开求这些中间变量，简化求解过程。二、求解物体系统的平衡问题的两种方法用静力平衡方程求解-刚体静力学(几何静力学)用虚位移原理求解-分析静力学虚位移原理是应用功的概念分析系统的平衡问题，是争论静力学平衡问题的另一途径。对于只有抱负约束的物体系，由于约束力不作功，有时应用虚位移原理求解更为便利。三、利用虚位移原理求解的平衡问题一般有如下几个特点：构造特点构造为几何可变体系待求量特点数目较少争论对象的选取取整体即可求解四、根本概念几何可变体系约束允许系统动几何不变体系约束不允许系统动举例：如下图，约束允许构造动，受力后可以不动，该构造为几何可变体系O如下图，约束不允许构造动，

3、受力后仍旧不动，该构造为几何不变体系。对于几何不变体系，只要解除某些约束，用约束力代替约束的作用，即可将不变体系变为可变体系。约束虚位移虚功一、约束及其分类(1)概念约束一一限制质点或质点系运动的条件。(与静力学中的概念有差别)约束方程表示约束限制条件的数学方程。(2)约束分类1、几何约束和运动约束几何约束一限制质点或质点系在空间的几何位置的条件。例如：搓长为1的单摆，如图3),在。Xy面内摇摆，质点M必需在以O为圆心、以1为半径的圆周上运动，其约束方程为：X2+y2=b.例如图(b)所示系统：点A只能作以点O为圆心，以r为半径的圆周运动，点B与点A的距离始终保持为杆长1；点B始终沿滑道作直线

4、运动。其约束方程为：X?+yj=2,(x-X)+(y-y)z=h,y=OA.ARAHR上述约束都是限制物体的几何位置，因此都是几何约束。运动约束一限制质点系运动状况的运动学条件。例如：如下图，直线轨道纯滚动的车轮：ys=r为几何约束方程.x1.i-t-o为运动妁束方程。为非定常约束2、定常约束和非定常约束定常约束一一不随时间变化的约束非定常约束一一随时间变化的约束例如下图，摆长随时间变化的单摆，设摆长开头时为1，然后以不变速度V拉动细绳O另一端，此时单摆的约束方程为：x：+y：=(1.-vt)2约束条件随时间变化,上面单摆的约束为定常约束。3、双面约束和单面约束双面约束假设约束不仅限制质点在某

5、一方向的运动，而且能限制其在相反方向的运动，称之为双面约束，或固执约束。单面约束假设约束仅限制质点在某一方向的运动，称之为单面约束，或非固执约束如单摆：刚性摆杆约束双面约束+y1=/*不行伸长的绳约束单面约束X2+Z2双侧约束，约束方程是等式.单侧约束，约束方程为不等式.4、完整约束和非完整约束完整约束：几何约束或其约束方程能够积分的运动约束称为完整约束(约束方程中不含导数或约束方程可积分)非完整约束：假设在约束方程中显含坐标对时间的导数，并且不行以积分，这种约束称为非完整约束。（约束方程总是微分形式）为几何约束方程.1Xgo为运动约束方程。J象工本章只争论定常的双面、完整、几何约束。二、虚位

6、移1、虚位移的定义在某瞬时,质点或质点系在约束允许的条件下,可能实现的任何无限小的位移称为虚位移。静平衡问题中，质点系中各质点都是静止不动的。设想在约束允许的条件下，给其一个任意的、微小的位移，例右图3、r、Sr.虚位移不是真实发生的小位移，而是假想的、约束允许的、可能实现的某种无限小位移，因而不用心、ds、dr表示，而用6x、3s、&衣示，为变分符号，其运算规章与微分类似。2、虚位移与实位移的区分和联系区分：实位移可以是无限小的，也可以是有限的，而虚位移必需是无限小的。实位移是在外力作用下实际发生的位移，而虚位移则是“约束允许的位移”，与外力无关。实位移是在肯定时间内发生的位移，而虚位移则与

7、时间无关，是一个纯几何的概念。联系虚位移包括切可能发生的无限小位移。因此，在定常约束的状况下,系统无限小的实位移必是虚位移中的一个。3、虚位移的计算只争论定常约束的情形。在此条件下，微小实位移是虚位移中的一个。因此可以用求微小实位移的方法求虚位移之间的关系。几何法一一运动分析法解析法一一变分法几何法举例：如图为虚位移，求虚位移间关系。drj=vdzdf3=hdt必=I%d仪一向一d%-3由此可见，各质点虚位移间的关系与相应速度间的关系样，所以可由运动学中确定速度的方法确定虚位移间的关系。这种方法称为几何法。几何法：假想系统运动，找出该位置下各点速度（角速度）的关系，即为虚位移的关系。解析法解析

8、法是利用对约束方程或坐标表达式进展变分以求出虚位移之间的关系。例如椭圆规机构如图，坐标有约束方程对上式进行变分以算得2x声+2%=0=-=以或者林2、表示成中的函数，也可求出虚位移间的关系.囚为XB=/cos/H-sna作变分运比A-Ibin521.cosS所以粤:TCWWy解析法：选取广义坐标，将各点的直角坐标表示为广义坐标的函数，求其变分，得到虚位移间的关系。比较以上两种方法，可以觉察几何法：需要画出虚位移图，充分利用运动学学问确定虚位移间的关系。几何法比较直观，但需要对运动学学问娴熟把握。解析法：不需要画虚位移图，但需要推断系统的自由度数，并选取广义坐标；还需要建立直角坐标系，将各点的直

9、角坐标表示为广义坐标的函数，并求其变分。解析法比较标准。三、虚功力在虚位移上作的功称为虚功，用I表示。A例：力F的虚功为：W=-FrB力偶M的虚功为：BW=-MS四、抱负约束假设在质点系的任何虚位移中,全部约束力所作虚功的和等于零，称这种约束为抱负约束。光滑固定面约束、光滑较链、无重刚杆，不行伸长的柔索、固定端等约束为抱负约束.例如下图系统，BD=BC,=30,求A、C两点虚位移关系。解(1)几何法如图画出虚位移图由速度投影定理得凡西COSP觇CoSe=r3COS（900-2。）联立解得必二与决解析法本例为单自由度系统，选取为广义坐标如图建立直角坐标系，则Xa=IBDSm1.aNC=2。DCQ

10、S夕求变分得Sxa=IBDCQS(P),c=-21.n联立解得：灰产除陇设一质点系处于静止平衡状态，则任一质点都处于平衡状态,因此有：F+F=O15-2虚位移原理F为该质点上主动力的合力，F为约束力的合力。1Ki假设给质点系一虚位移，其中质点mi的虚位移为:ri，则作用在该质点上的力的虚功为：Fr+Fr=O1IKi1对质点系：Fr+Fr=01IXii具有抱负约束的质点系，ZFr=0,Fr=OXii即：w=oF虚位移原理一一又称虚功原理，对于具有抱负约束的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动力在任何虚位移中所作虚功的和等于零。例螺旋压榨机的手柄AB上作用一在水平面内的力偶(F,W),其力偶矩

11、等于2F1.设螺杆的螺距为h,求平衡时作用于被压榨物体上的压力.解：1、取手柄、螺杆和压板组成的系统争论，假设无视摩擦，则约束是抱负的。2、受力分析，系统上的主动力为：(F,F,)和3、给系统以虚位移，将手柄转过,则螺杆和压板向下位移s0_s因手柄转周，螺杆上升或下降一个螺距h故：苏=4、列虚功方程：W=O,2F-Fws=0FF=4111.f解得：nh压榨力与F等值、反向。例图示构造，各杆都以光滑较链连接，ACxE=BoQH)G=1。在点G作用一错直方向的力F,求支座B的水平约束力FoRt解：1、解除B处的水平约束，代以力F,将F当作主动力。BxHX2、取系统争论，系统具有抱负约束，系统所受主

12、动力：F、F3、列虚功方程W=0,Fy+FX=0PGHcR4、建立如图坐标系,写出B、G的坐标X=2Icosy=31sinBG变分：X=-21sin0,yB=3Icos060F31cos00+F(-21sinSO)=O(F_3尸COsO=Fcot解得：Bx2sin26、如在点C、G间连接一自重不计、水平约束力。D处水平约束，均以力代之AFGR(2)虚功方程W=0,解：（1）取整体争论，去除弹簧及B刚度系数为k的弹簧，图示位置弹簧伸长,其他条件不变，求B的F+Fy-Fy+Fy=0建立坐标系，写出各点坐标X=21cosy=Isiny=31sinBCC变分：SX=-21sin0,Sy=ICoS,By=31cosUSOBcC求解F=-Fcot-kco1.弹簧力：F=F=k6,解得：RV2解：1、取系统争论2、列虚功方程1.rW=O,F3r-F6r=03、虚位移间的关系可用“虚速度法”rrdt例椭圆规机构，连杆AB长为1,滑块与杆市不计，无视摩擦，机构在图示位置平衡。求主动力F与F间的关系。杆AB作平面运动，由速度投账定理：v&C。4=匕Sin(I)4、求解