函数思想在等差数列中的应用.docx

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1、函数思想在等差数列中的应用教学目标1 .对等差数列的概念、通项公式、前n项和公式的相识进一步深化，提高学生解决问题的实力.2.帮助引导学生用函数的观点看待数列，借助函数的探讨方法探讨数列.教学重点和难点用函数的思想探讨等差数列.教学过程设计（一）复习引入师：我们已学习了数列的基本学问，等差数列的定义、通项公式与前n项和的公式，今日，我们一起应用这些学问来解决一些问题.请看题目.练习：已知an是等差数列,其中m=31,公差d=-8.求数列前n项和的最大值，并求出对应n的取值.师：拿到这个题目，大家有什么想法？生：我一下子得不出S,的最大值.不过师：那你能得出些什么？生：我可以得出aa+d=31-

2、8=23,a.-a,+2d=31-82=15,at=a,+3d=31-83=7,=a+4d=31-84=-1.,ai=a1.+5d=31-85=-9,（学生口述，老师板书）师：既然得出f这些，不就可以得到对应的S“的值/吗？生:可以.S产31,S2=S+at=54rS3=S2+a3=69.S=S1+S,=76.Ss=S1.+as=75,Srt=S,+=66,（老师板书）师：从这之中，你又能发觉什么呢？生：可以看出当n=4时，S,取得取大值，最大值为S,=76.在前4项中，S1.越来越大，从第4期起先，S,又越来越小.师：从前几项中，的确可以看出S,最大，可是，当n再大一些的时候，S,会不会又变

3、大呢？生：不会的.由于由VO,d0.d0的时候？师：这时的数列有什么特点？生：数列中的各项分布在一条横截距为正，斜率为负的直线上，也就是说可以把等差数列当作个次函数来看待.师：同学们已经知道，数列是一种特别的函数，它是定义在自然数集(或它的了集1,2,3,，n)上的函数.当自变员从小到大依次取值时,对应的一列函数值就是数列.那么等差数列公是什么样的函数？这个问题我们又该如何下手探讨呢？生甲：首先探讨等差数列的通项公式.因为它体现了数列的项与项数的对应关系.在等差数列an中，公差为d(d是常数).当dHO时，其通项公式u.=a+(n-I)d=d,+(a-d).f(n)=d1.1.+(a1-d),

4、是关于自变量n的一次函数.反之，若小可写成&,=an+b的形式，RiJa0.-an三a(n+1.)+b-0时，数列a“)各项一个比一个大；当dVO时，数列(a,)各项个比个小：当d=0时，数列a,)为常数列.师：清试着分析等差数列&的前n项和的最值问题.生：对于首项为a,公差为d的等差数列a.,其各项可表示为a“a,+d,a,+2d.a1.+3d,a1+(11-1)d.探讨前n项和S.的最值首先应对a”d的符号进行分类.(1)当a0时，若d0,则数列&是个各项均为正数且递增的数列，随项数n的增大,前n项和S.的值也不断增大，所以此时，S,没有最大值，当n=1.时，S,有最小值S=a1.:若d0

5、.时,SIk最大.师：这样结论才比较完善.谙接着分析首项小于O的状况.生：（2）当aVO时,若dO,则数列（a,）是一个首项为负数的递增数列.数列的所有非正项（负数项和零项）的和最小.即当1*工时,S瀛得最小值.由于a,随n的不断增大而增大，所以S,没有最大值；若d0,d=-80,则aj是一个首项为正数的递减数列.因&=32,d=-8,则&=(n-I)d+a1.=32+(-8)(11-1)=40-8n.所以当40.8（。时,备有最大值.得04：即K5时，S“有母大值.因此当n=4或n=5时，S.有最大值.SFS户80是最大值.师：在刚才的探讨中，我们抓住/等差数列与一次函数之间的关系，运用一次

6、函数的性质解决了等差数列前n项和的最值问题.同学们可以从中体会函数思想在解决数列问题时所起的作用.下面我们来看例1.例1一个首项为正数的等差数列CG,满意S尸S”，请问：这个数列的前多少项和为最大？生甲：由等差数列的前n项和公式,&和SU都可以用a和d表示,从而可以得到a1.与d的一个关系式.由刚才得到的结论，就可求出S,何时最大.解法如F：解法1：设等差数列“的公差为d.I1.S,S1,则SU-SS=a+a+a4+a9+ah)+au=0,即0,则dO,所以4是一个首项为正数的递减数列.因此当f：0：时S.有最大值.1.+1.0,卜+GD0k%(0,ja+(-2a)n0.则d2,nN.),又因

7、为&=S产a+b,所以(a)是以a+b为首项.2a为公差的等差数列.所以，a,成等差数列是其前n项和SiI可以写成关于n的常数项为0的二次函数形式的充耍条件.这样就可以把对S,的探讨转化为对关Tn的二次函数的探讨了.当d=0时,S1.=Ha1,当n=1.时，S“有最值.师：解法2的确可行.这样，我们在解决关丁等差数列前n项和的问题时就有了两种不同的解法.比较这两种解法，我们可以发觉解法1将S.的最值问题转化成了国的符号问题，虽然要求对数列的相识要比较深刻，但是实际操作却还是较简洁的.因为探讨次函数终归要比探讨二次函数简洁.但是例1中所给的条件是SkS”,所求的是S、,应当说,干脆用S,n的关系

8、解题是有优越性的.但既然S,可看成是关于n的二次函数，我们能否用二次函数的性质将解法进一步简化呢？牛.：能，因为S1,是关于n的二次函数，从二次函数的对称性动身就可以直接求得对称轴为n等8师：这种想法轻松自然.它正是抓住了二次函数的性质：在对称轴上达到最值.可是数列不同于函数，其项数n是定义在自然数集（或其子集1,2,n）上的，所以有两个问题要加以考虑.首先，若对称轴在直线nG的左侧，应如何处理？生：假如工图象的对称轴在直线n=1.的左侧，那么S”的值肯定是单调递增或单调递减的，这样，当n=1.时，S,就取得它的最大（小）值，为a.师：很好.还有其次个问卷，若对称轴不是整数呢？生：取离对称轴最

9、近的整数.师：假如题目改为：Ss=SWn该如何取值呢？生，对称轴为n工产-75,离75最近的整数值是7和8,所以n=7或8时，Sn最小.师：明显，这种利用函数性质的做法最简洁，应体会函数思想在其中的作用.下面我们看例2.例2数列A,是等差数列，且a-a*=50,a：a=616,试求数列&前n项和义的最大值，并指出对应n的取值.请同学们用两种方法求解，边解边比较两种方法的优劣.生：要求出S,的最大值,应首先求出&和d,这须要有两个关系式，依据题目所给的两个条件，可以很简洁把它们求出.进而，就可得到Sn的最大值.解法如下：（学生甲板书解题过程）解法1：设等差数列公差为d,因a,+a,=5O,a疝=616,则I（aj+4d）+（+6d）=616,a+10a1.d+24dj三616.（2）将（1）式两边平方后，再减去（2）式.得d?=9,即d=3或-3.所以d=3.a1=10d=-3.a1=40.当&=10,d=3时，又a0,d0,则aJ是一个首项为正数，公差大于0的递增数列，故(%没有S,最大值.当a=40,d=-3时，a1.0,d0.(40-(n-030.