函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳.docx

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1、函数项级数的一样收敛性与非一样收敛性判别法归纳-定义引言设函数列Z,与函数/定义在同一数集。上，若对任给的正数,总存在某一正数N,使得当N时，对切XG。，都仃IA()-W“(外：称n1.SI1.(X)=a(x),xeE,r=1.,2.-(2)*=1.为函数顶级数的部分和函数列.设数集。为函数项级数S,(6的收敛域，则对每个xw，记S(X)=“r),即三*1.n1.IimSII(K)=S(X),xw。，称S(X)为函数项级数“(*)的和函数，称,(x)=5(x)-5”(x)*xr三1.为函数项级数的余项.定义1川设SN时，对一切xw。，都有母(X)-S(r)g,则称函数项级数在。上一样收敛于函数

2、S(X),或称Z，!(x)在。上一样收敛.同时由因,(X)I=IS“(X)-SeV)I0.VNNt,3n,N及3rw),使得卜(X)-SIVa)%,A-I则函数项级数1.tn(X)在区间D上非一样收敛.例1试证在卜r.r(0r0,欲使当aN和-rVxr时，恒有成立，只要当N时,恒有尸N时,恒有Igr成立，只要当N时，恒有Igr成立，只要取N=即可.依定义，在-r,r上一样收敛丁一存在q=2,对随意自然数N,都存在*=N+IN和=*w(-1.1),使ef+2成立，依定义，Xx在(-1.1)内不一样收敛.二函数项级数一样收敛性的判定方法定理1CaUChy一样收敛准则内函数项级数Z(x)在数集力上一

3、样敛的充要条件为：对V0,总使得当N时，对一切Xe。和一切正整数p,都有|Sx)-Sh(NWz(r)+“73+K%(d0),使得对于Vxe?.有限=IS(X)-S,J1呵a”=0,则称函数列S0,口VgN.(与K无关)，使得当N时,对一切*xxgD,都有|&(“=|S(X)S,(X)Ma,fJMtD证明充分性设b(x)是函数项级数Z.(x)的部分和函数列，S(X)为和函数，则HKI1.(X)=-v(.v)-5(a),并令“=SupC(.v).IfijIimsupRo(X)=。，即Iima1.t=0,由定理3(放*9wDC大法得知函数项级数W1.t(x)一样收敛于函数S(X).必要性注：实质上是

4、用极值的方法把一样收敛问题转化为求数列极限的问题.定理5若W,(x)在区间。上收敛,则WX,(X)在。上样收敛的充要条件是VxnuD,有IinI凡(X)=0.证明充分性假设Z”(x)在。上不样收敛,则M,0,XrJu，使得W(X)-S(.q4,如此得到k,u。，但凡3)0,这与已知条件冲突.必要性因已知Z“(x)在。上一样收敛,所以Ve03V,使得当N时,对切e0,都有IS“(x)-S(,对于Vxju。，则有IS(Ia(I)-S(J,即4(x,J0,mN”0,“2%际,)时，有OS4/).将固定，令=MI=N(5因为.(X)=/W-SII(X)在上连续,既然Rn(x)0,当XW(X(I+a)时

5、，R1.,(xu)N时更有R,(x)s即R,(X)Nyt时,对.rw(.一心,5+2)恒有R1.t(x)N时,恒有f,(.t),(x)定义在数集。上，M,为收敛的正项级数,若对切xgD,有u,().j=I.2则函数项级数、4)在。上样收敛.证明由假设正项级数Z“(x)收敛,依据函数项级数的CaUChy准则，V0,三某正整数N,使得当N及任何正整数“旬+也/=/此,乂由对一切XG),有“(+倒*曰+,M/“+M“”x)在。上一样收敛.注:若能用从判定.(工)样收敛,则，.(必是肯定收敛，故M判别法对条件收H-I*-1敛的函数项级数失效.例3函数项级数Z“Z容在(-8,田)上样收敛,因为对物XC(

6、-8,田)fAr有空竺MIj智IM1.,而正项级数Z、是收敛的./rniIniI/Ktr推论2设有函数项级数Z4(x),存在-收敛的正项级数,使得对于Vxg/,有Iim邑=HOk+r),则函数项级数与在区间/一样收敛。内CT证明已知Iim也=MoA-0.3NeN,.VhNKX亡/.有an以V/即其n以Raco也收敛,由M判别法得函数项级数j,(x)在区间/样收敛.u1.由广义调和级数十，当p1时收敛,故当.=J时,有推论2设有函数项级数(外,若存在极限h)=A且0RI,则11=1.*_*x*函数项级数W,(x)与WK6,若利,GN,当TNUXXG/有k0(其中C为正常数,3iV1.N,XfnA

7、r1.及PGMxG/，有卜马+Wz(x+卜回N0,xG/有W1.t(K)IN.TpMxe/,有%W1.+%向+%(”也“+v4,(xJ+除。（三）N“Exe/有m)cvi(.v)(Km,xc/,有Ha)I“(6在区间/肯定一样收敛,即VOJMNEnN、pgN”1,A-IC有卜;1(X)+vn,2(x)+-+vn,p(N=J(x)+Vntp(x)NJ,当WN,pwN,Xw/有w11.3+z()+%WMKWH-+卜”.向dk()+%)VC-=Ec从而函数项级数Z%()在区间/肯定一样收敛.推论3比较极限法若有两个函数级数与EViIahXrHo),且有山霏=A且0A,(x)在区间/肯定样收敛,则函数Z4()在区间/也肯定样收敛.ISM-使证明由Iimf=A且00,311WM当MXw/有|0.V/jN及XW/有W(Xr)“(在区间/肯定一-1样收敛,则函数级数“。，,卜)在区间/上也肯定一样收敛.证明由己知函数列=(x)在区间/上一样有界，即3M(),VGMK/有卜式”M,使当V”N.x6/有W1.I(X)F(Mfvn(),又因函数级数Z匕()在区间/肯定一样收敛，由比较判法定理7知，函数级数Z“(小式6在区间/上肯定一样收敛.例5若函数级数,(x),Zq(X)在区间/一样收敛,且U.有i,u)(x)c(.t),则函数项级数Zaa)在区间/上