函数的应用举例_0.docx

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1、函数的应用举例课题：函数应用举例1教学目的：1.了解数学建模，会依据实际问题确定函数模型；2.驾驭依据已知条件建立函数关系式；3.培育学生的数学应用意识.教学重点：依据已知条件建立函数关系式教学难点：数学建模意识.授课类型：新授课课时支配：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1 .数学是预料的重要工具，而预料是管理和决策的依据，就像汽车的光明的前灯一样，良好的预料展示的前景有助于决策者依据这些条件来实行行动.在我们考察不同的侦料方法之前，必需指出：预料既是一门科学，也是一门艺术.科学预料的力气在于：经过长期的实践，职业的预料者赛过那些没有受过专业训练的、非系统的、或运用非科学

2、方法例如依据月亮的盈亏来预料的人.我国数学工作者在对天气、台风、地震、病虫害、海浪等的探讨方面进行过大量的统计，对数据进行处理，拟合出一些直线或曲线，用于进行预料和限制.例如，中科院系统对我国粮食产量的预料.连续11年与实际产量的平均误差只有1%.奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆2.指数函数）10（aaayx且的图象和性质：a1.Oa1.图象654321-1-4-224601654321-1-4-224601性质（1）定义域：R奎屯王新敞新疆（2）值域：（0,+）奎屯王新敞新疆（3）过点（0,1）,即x=0时,y=1.奎屯王新敞新疆（4）在R上是增函数奎屯王新敞新疆（4）在R上是减函

3、数奎屯王新敞新疆3.对数函数xya1.og）10（aa且的图像和性质：a1.Oa1.图象32. 521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801133. 521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011性质定义域：（0,+）值域：R过点（1,0）,即当1X时，0y）1,0（X时0y奎屯王新敞新疆）,1（X时0y奎屯王新敞新疆）1,0（X时奎屯王新敞新疆）,1（X时奎屯王新敞新疆在（0,34. 上是增函数奎屯王新敞新疆在（0，+）上是减函数奎屯王新敞新福二、新授内容：数学模型与数学建模数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反

4、映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来探讨实际问题的一般数学方法.三、讲解范例：例1以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表身高/cm60708090100110120130140150160170体重kg6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05依据上表中各组对应的数据,能否从我们学过的函数baxy,bxayIn,xbay中找到一种函数，使它比较近似地反映该地未成年男性体重y关于身高X的函数关系，试写出这个函数的解析式，并求

5、出a,b的值.若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高175Cm体重78kg,他的体重是否正常？分析：依据上表的数据描点画出图象，视察这个图象，发觉各点的连线是一条8070605040302010-10-20-30204060801001201401608070605040302010-10-20-3020406080100120140160fx=21.02x向上弯曲的曲线，因此，可以推断它不能用函数baxy来近似反映.依据这些点的走向趋势，我们可以考虑用函数Xbay来近似反映图1图2解：将已知数据输入计算机，画出图1：依据图1.选择函数xbay

6、进行拟合.假如保留两位小数可得a=2,b=1.02所以，该地区未成年男性体重关于身高的函数关系式可以选为xy02.12将已知数据代人所得函数关系式，或作出所得函数的图象图2,可知所求函数能较好地反映该地区未成年男性体重与身高的关系.将x=175代人xy02.12得17502.12y计算得y=63.98,由于2.122.198.6378,所以，这个男生体重偏胖.注：例1是实际应用问题.解题过程是从问题动身，引进数学符号，建立函数关系式，再解决数学问题，最终验证并结合问题的实际意义做出回答.这个过程事实上就是建立数学模型的一种最简洁的情形.给出另两个函数的拟合结果小结1：函数拟合与预料的步骤：在中

7、学阶段，学生在处理函数拟合与预料的问题时，通常须要驾驭以下步骤：能够依据原始数据、表格.绘出散点图.通过考察数点图，画出最贴近的0线或曲线，即拟合宜线或拟合曲线.假如全部实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴点不漏，那么这将是个非常完备的事情，但在实际应用中，这种状况是不行能发生的.因此，使实际点尽可能匀称分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合宜线或拟合曲线就是最贴近的了.（3）依据所学函数学问，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.利用函数关系式，依据条件对所给问题进行预料和限制，为决策和管理供应依据.例2某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万

8、件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数CbayX（其中cba,为常数）奎屯王新敞新播已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由讲解：依据题意，该产品的月产量y是月份X的函数，可供选用的函数有两种，奎屯王新敞新疆其中哪一种函数确定的4月份该产品的产量愈接近于1.37万件，哪种函数作为模拟函数就较好，故应先确定出这两个函数的详细解析式奎屯王新敞新疆设rqprqxpxxfy,()(21为常数，且)Op,Cbaxgyx)(2,依据已知，得,3.139,2.124,Ir

9、qprqprqp及,3.1,2.1,132cabcabcab解得4.1,5.0,8.0;7.0,35.0,05.0cbarqp4.15.08.0)(.7.035.005.0)(2xxgxxxf35.1)4(g,3.1)4(f奎屯王新敞新疆明显)4(g更接近于1.37,故选用4.15.08.0Xy作为模拟函数较好奎屯王新敞新疆注:确定两种模拟函数的解析式是解答本题的关键例3用长为m的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2x,求此框架的面积y与X的函数式，并写出它的定义域.分析：所求框架面积由矩形和半圆组成，数量关系较为明确，而且题中已设出变量，所以属于函数关系的简洁应用

10、.奎屯王新敞新疆解：如图，设B=2x,则CD弧长=X,于是D=22xxm因此y=2x2222xxxm,即y=-mxx224再由02202xxmx解之得OVXV2m即函数式是y=-2m42x+mx定义域是：（0,2）奎屯王新敞新疆小结2：（1）数学应用题的实力要求阅读理解实力；抽象概括实力：数学语言的运用实力：分析、解决数学问题的实力：（2）解答应用题的基本步骤合理、恰当假设；抽象概括数量关系，并能用数学语言表示：分析、解决数学问题：数学问题的解向实际问题的还原例4如图所示，有一块半径为R的半圆形钢板，支配剪裁成等腰梯形AIJCD的形态，它的下底AB是OO的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个

11、梯形周长y和腰长X间的函数式，并求出它的定义域.分析：要用腰长表示周长的关系式，应当知道等腰梯形各边的长，下底长已知为2R,两腰长为2x,因此，只须用已知量（半径R）和腰长X把上底表示出来，即可写出周长y与腰长X的函数式.解：如图所示，AB=2R,C、D在OO的半圆周上设腰长AD=BC=x,作DEAB,垂足为E,连结BD,那么ADB是宜角，由此RtZkADEsRtABD.AD2=AEAB,即AE=RX22CD=AB-2AE=2R-Rx2所以,y=2R+2x+（2R-Rx2）,即y=-Rx2+2x+4R再由RxRxRRxx20,0202022解得奎屯王新敞新疆周长y与腰长X的函数式为：y=-R评

12、述：例4是实际应用问题.解题过程是从问题动身，引进数学符号，建立函数关系式，再探讨函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义做出回答，这个过程事实上就是建立数学模型的一种最简洁的情形.四、练习：1.中国人口问题人口问题是我国最大的社会问题之一，估计人口数量和发展趋势是我们制定一系列相关政策的基础.由人口统计年鉴，可查得我国从1949年到1994年人口数据资料如下：1（2x+2x+4R）,定义域为：（0,2R）年194919541959196419691974197919891994人口（百万）541.67602.66672.09704.99806.71908.59975.421106.76117

13、6.74试估计我国2010年的人口数.2.销令额问题某县乡镇企业局，要求预料1990年1991年轻工产品人均销售额，依据初步分析，人均销售额yt和人均国民收入xt的数据如下表所示，1990年及1991年人均国民收入支配值分别为514.1元/人、550.1元/人.年份人均销售额yt（元/人）人均国民收入xt（元/人）年份人均销售额yt（元/人）人均国民收入xt（元/人）19650.351161978O.781971966O.371371979O.942261967O.5214219801.OO2381968O.6715619811.052581969O.6012319821.102541970O

14、.5711519831.182691970O.5312819841.222701972O.5913619851.361881973O.5016219861.453481974O.5618619871.614221975O.6316219881.864481976O.6616319892.114851977O.77173五、小结通过本节学习，大家应对数学建模有所了解，并能依据已知条件建立函数关系式，逐步驾驭解决实际问题的实力.六、课后作业：课本P88练习1.将一个底面圆的直径为d的圆柱截成横截面为长方形的棱柱，若这个长方形截面的一条边长为X.对角线长为d,截面的面积为A,求面积A以X为自变量的函

15、数式，并写出它的定义域.解：如图，截面的一条边为X,对角线C=d,另一条边BC=22xd,所以S=x22xd,定义域为：xOx0,得V2a又x0,函数定义域为x0Vx2课本P89习题2.91.建筑一个容积为8000m3,深为6m的长方体蓄水池，池壁的造价为a元/m2,池底的造价为2a元/m2,把总造价y(元)表示为底的一边长为x(m)的函数.a解：设底面的另一边长为z(m),则依据题意有6xz=8000,z=x34000池壁造价为a(2x+2z)6=12a(x+x34000)池底造价为2a3800068000a所以，总造价：y=12a(x+x34000)+38000a(元)2.如图，浇灌渠的横截面是等腰梯形，底宽2m,边坡的倾角为45,水深hm,求横断面中有水面积A(m2)与水深h(m)的函数关系式解：如图，作ACCE,B)CE,1.h2,矩形面积：2hRtBDE面积：2A=S矩+2BDER1.S=2h+221h2=h2+2h(m2)七、板书设计(略)八、课后记: