解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章.docx

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1、解：A=-P第五章二次曲线一般的理论二次曲线与直线的相关位置1 .写出以下二次曲线的矩阵A以及G(X,y),E(X,y)及(x,y).2222171；2-=1；3y22px；4?3/+5+2=0;abab2x-xy+y2-6x+7y-4=0.;F1(x,y)=-X;工(X,y)=gy;&X,y)=T；ab-1；F1(x,y)=-xF2(x,y)=-y；F3(x,y)=-l.ab-p0;F1(x,y)=-p;B(X,y)=y;(%)=一川；J4A=0-30；片(X,y)=%+g;F2(x,y)=-3y；(x,y)=gx+2；l/、17Bay)=-+y+-2 .求二次曲线炉2孙3)?4x6y+3=

2、0与以下直线的交点.5x-y-5=0;2x+2y+2=0;3x+4y-l=0；x-3y=O；2x-6y-9=O.解：提示：把直线方程代入曲线方程解即可，详解略(4-226z-7+226z(4+226z-7-226?55,55IJ二重点(L0)；无交点.3 .求直线xy1=0与二次曲线2/盯%2y1=0的交点.解：由直线方程得=y+1代入曲线方程并解方程得直线上的所有点都为交点.4 .试确定k的值，使得1直线xy+5=0与二次曲线3x+y左=0交于两不同的实点;X=+kt直线7与二次曲线4盯+3y2y=0交于一点；y=k+t3x01=0与二次曲线2孙+必（左）y1=。交于两个相互重合的点；X1+

3、/-与二次曲线2/+4盯+x2y=0交于两个共辄虚交点.y=i+t49解：详解略.m左-.245.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线1 .求以下二次曲线的渐进方向并指出曲线属于何种类型的.X2+rxy+y2+3x+y=0；3x2+4xy+2y2-x-2y+5=0；32xy-4x-2y+3=O.解：1)由。(X,Y)=2+2y+y2=o得渐进方向为x：y=i：i或i：i且属于抛物型的;2)由。(X,y)=32+4y+2y2=o得渐进方向为x：y=(2土技)：3且属于椭圆型的;3由。(乂,丫)=2乂丫=0得渐进方向为乂：丫=1:0或。：1且属于双曲型的.2 .判断以下曲线是中心曲线，无心曲线还是线

4、心曲线.1?2xy+2，4x6y+3O；2%24xy+4y2+2x-2y-1=O；32+8x+12y-3=O;492-6xy+y2-6x+2y=0.11解：m因为A=o,所以它为中心曲线;2-122因为A=1-2-24=O且工-2-214-1所以它为无心曲线;OO0043因为A=O且=-,所以它为无心曲线;2O20269-3Q-3-34因为人=O且二=二=二，所以它为线心曲线;2-31-3123 .求以下二次曲线的中心.15x2-2xy+3y2-2x+3y-6=0；22%2+5xy+2,6%3y+5O；39x2-30xy+25y2+8%-15y=O.5x-y-1=0,解：1）由3-x+3y+=

5、一313得中心坐标为(,)28282x+-y-3=0,-x+2y-=O223)由9x-15y+4=O,-15x+25y-y=O知无解，所以曲线为无心曲线.4.当满足什么条件时，二次曲线炉+6盯+2+3%+勿4=0有唯一中心；2)没有中心;3有一条中心直线.3x+3y-0,.b_3x+ay+=0知，当9时方程有唯一的解，此时曲线有唯一中心;2)当=99时方程无解，此时曲线没有中心；3)当“=9时方程有无数个解，此时曲线是线心曲线.5.试证如果二次曲线F(x,j)=allx2+2al2xy+a11y2+2rz13x+2a23y+3=0有渐进线，那么它的两个渐进线方程是(x-x0,y-y0)=11(

6、x-x0)2+2(x-x0)(-y0)+(y-y0)2=0式中(x0,y0)为二次曲线的中心.证明：设(羽y)为渐进线上任意一点，那么曲线的的渐进方向为X：Y=(x-/)：(-%),所以(x-,y-y0)=11(x-x0)2+2(x-x0)(j-j0)+2(j;-J0)2=0.6.求以下二次曲线的渐进线.16JV2xyy2+3x+y1=0；X2-3xy+2y2+x-3y+4=0;3x2+2xy+y2+2x+2y-4=0.r13n6x2y+2,13解：1由1得中心坐标(一,一).而由6X2xy丫2=。得渐进方向为x=i：2或X：y=1：3，所以渐进线方程分别为2x-y+l=0与3x+y=031C

7、x2y+2,13、得中心坐标(一,一).x+2y=05522而由X2-3XY+2Y2=0得渐进方向为X：y=1:1或X:Y=2:1,所以渐进线方程分别为x-y+2=0x-2y-l=0X+y+10,7知曲线为线心曲线，.x+y+1=0所以渐进线为线心线，其方程为+y+l=O.7 .试证二次曲线是线心曲线的充要条件是4=/3=0,成为无心曲线的充要条件是4二,A证明：因为曲线是线心曲线的充要条件是幺=丝=且也即4=4=0；a2223为无心曲线的充要条件是Sl=组9旦也即，2=0,40.Cl1?228 .证明以直线A%+5+G=o为渐进线的二次曲线方程总能写成(Aix+By1+C1)(Ax+By+C

8、)+D=0.证明：设以Ax+B+G=O为渐进线的二次曲线为F(x,y)=a11x2+2anxy+y2+2a13x+2a23y+a33=0,那么它的渐进线为(x-x0,y-y0)=11(x-x0)2+212(x-x0)(y-y0)+2(y-y0)2=0,其中(X(Pyo)为曲线的中心，从而有(x-Xo,y-yo)=(A%+gy+C)(Ax+5y+C)=Oa11(x-x0)2+2a12(x-x0)(y-y0)+22(y-y0)2而(xXo，,%)=%/2+2anxy+a22y22(OnXO+any0)x2(tz12x0+t222y0)y+11x0+2t212x0y0+22y0,因为(X(Pyo)为

9、曲线的中心，所以有r+%2%=一%3，%2%0+22%=一23因此(X%,%)=/(X,y)+。(X(PyO)“33，令(X(PyO)43=-。，代入上式得方(X,y)=。(4-%,y%)+。即F(x,y)=(4%+5%+G)(4+协+C)+O,所以以AX+8%+G=O为渐进线的二次曲线可写为(AX+Byy+G)(AX+By+C)Z)O.9 .求以下二次曲线的方程.1以点0,1为中心，且通过2,3，4,2与(-1,-3；12)通过点1,1，2,Ib(-1,-2且以直线x+y1=0为渐进线.解：利用习题8的结论即可得：1xy-x-4=0；2x2-xy-3y2-5x+7=0.5.3二次曲线的切线1

10、 .求以下二次曲线在所给点或经过所给点的切线方程.1)曲线3Y+4盯+5y27x8y3=0在点2,1)；曲线曲线3/+4盯+5V7x8y3=0在点在原点；3曲线Y+盯+y2+%+4y+3=0经过点(-2,-1)；曲线5福+6盯+5y2=8经过点(O,J);曲线22孙y2%2y1=0经过点(0,2.解：1)9x+10y-28=0;2x-2y=0;y+l=0,x+y+3=0;4llx+5y-102=0,x-y+22=0；%=0.2 .求以下二次曲线的切线方程并求出切点的坐标.1曲线f+4xy+3y25xy+3=0的切线平行于直线x+4y=0;2曲线/+盯+V=3的切线平行于两坐标轴.解：1x+4y

11、-5=0,(1,1)和x+4y8=0,(T,3)；y2=0,(1,2),(1,2)和x2=0,(2,-1),(-2,1).3 .求以下二次曲线的奇异点.13%22产+6%+4y+1=0；22xy+y22x1=0；3X?2xy+y?2x+2y+1=0.3x+3=0,解：1)解方程组4得奇异点为(-1/)；-2y+2=0fy-l=O,2)解方程组,得奇异点为(-1,1).x+y=04 .试求经过原点且切直线4x+3y+2=0于点(1,-2及切直线xy1=0于点(0,-1的二次曲线方程.解：利用5.3-5可得6/+3Xy-/+2-y=0.225 .设有共焦点的曲线族+/区=1,这里。是一个变动的参数

12、，作平行于直线y=m的曲线a+hb+h的切线，求这些切线切点的轨迹方程.解：设切点坐标为(X(Py),那么由5.3-4)得曲线的切线为广，+平丁=1,因为它平行与a+hb+hy=mx,所以有/?二皂士竺巨，代入一方=1整理得x0+my0a+hb+hnx1+(m2-l)x0y0-my-m(a2-Z?2)=0,所以切点的轨迹为mx+(m2-l)xy-my2-m(a2-2)=0.5.4二次曲线的直径1 .二次曲线3/+7盯+5y2+4x+5y+l=0.求它的11)与X轴平行的弦的中点轨迹；2与y轴平行的弦的中点轨迹；3与直线x+y+l=0平行的弦的中点轨迹.解：1因为X轴的方向为X：y=l:0代入5

13、.4-3得中点轨迹方程6x+7y+4=0;2)因为y轴的方向为X：y=0:l代入5.4-3得中点轨迹方程7x+10y+5=0；3)因为直线x+y+l=0的方向为X:/=1:1代入5.4-3得中点轨迹方程x+3y+l=0.2 .求曲线/+2町4x2y6=0通过点8,0)的直径方程，并求其共辗直径.解：1)把点8,0)代入X(X2)+Y(2y-1)=0得X:Y=1:6,再代入上式整理得直径方程为x+12y8=。，其共机直径为12x2y23=0.3 .曲线町-产2%+3y-1=0的直径与y轴平行，求它的方程，并求出这直径的共辗直径.解：直径方程为x1=0,其共辗直径方程为x2y+3=0.4 .抛物线/=8%,通过点(-1,引一弦使它在这点被平分.解：4x+y+3=0.225.求双曲线土-匕=1一对共辄直径的方程，两共辗直径间的角是45度.649k-k解：设直径和共班直径的斜率分别为左次，那么尿=*.又因为它们交角45度，所以r=l,从31+kk而=；或2,左=2或