第5课时 二次函数与相似三角形的综合.docx
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1、第5课时二次函数与相似三角形的综合此类题型结合相似三角形判定方法,如果一个角为直角,只需两直角边之比分别相等,此时要对对应边分类讨论.中考重难点突破例(2019南空中考)如图,已知抛物线经过原点O,顶点为A(1,1),且与直线y=-2交于B,C两点.(1)求抛物线的解析式及点C的坐标;(2)求证:AABC是直角三角.形;(3)若点N为X轴上的一个动点,过点N作MN,X轴与抛物线交于点M,则是否存在以O,M,N为顶点的三角形与AABC相似?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1).抛物线顶点坐标为A(1,1),设抛物线解析式为y=a(X-I)2+l.又抛物线过原点O,0
2、=a(0-1)2+l,解得a=-1抛物线解析式为y=-(-l)2+l,即y=-X2+2x.y=x2+2x?x=2,x=_,联立。解得八或Q、y=x2,y=0y=-3,B(2,0),C(-1,-3);(2)证明:分别过A,C两点作X轴的垂线,交X轴于点D,E,则AD=OD=BD=1,BE=OB+OE=2+1=3,EC=3,ZABO=ZCBO=45,即NABC=90。,ABC是直角三角形;(3)存在满足条件的点N.设N(x,0),则M(x,-x2+2x),.ON=x,MN=I-2+2x.由(2)知在尺dABD和及ACEB中,可分别求得AB=2,BC=32.VMNx轴于点N,/ABC=NMNO=90
3、。.若AABC和AMNO相似,则WMNON-x2+2xx当而=前时,=,232即IXHx+2=gx.当X=O时,m,o,n不能构成三角形,x0,-x+2,即-x+2=+,解得X=I或x=W,此时点N的坐标为|o)或&,o);WMNON-xTEF,X轴于点F,AFE=90.ZAOD=ZAFE=90,ZOAD=ZFAE,AODAFE.SadoAO21A八W忑=/=,ao.AF=3,OF=3+1=4.32199当x=4时,y=_*42+区义4_5=5,点E的坐标为4);(3)存在点D,使DA2=DMDN.+2xx当班=用时,=一,322即IXHx+2=3x,-x+2=3,即-X+2=3,解得x=5或
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