《选择性必修三》随机变量及其分布 离散型随机变量及其分布列第4课时.docx

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1、第4课时7.4.1二项分布（-）教学内容重伯努利试验、二项分布及其数字特征.（二）教学目标结合具体实例，了解重伯努利试验的概念，了解二项分布的概念；能判断随机变量是否服从二项分布，会计算二项分布的数字特征.（三）教学重点和难点重点：重伯努利试验、二项分布及其数字特征.难点：在实际问题中抽象出模型的特征，识别二项分布.（四）教学过程设计引导语俗话说“三个臭皮匠顶个诸葛亮”，现在刘备帐下除了诸葛亮之外还有三名谋士.假设对某事进行决策时，这三名谋士的提供正确意见的概率均为0.8,诸葛亮提供正确意见的概率是0.9.现刘备为某事是否可行征求他们意见.以下有两种方案：（1）征求每名谋士的意见，并按多数人的

2、意见做出决策.（2）采纳诸葛亮的意见.同学们，如果你是刘备，你应该选择哪种方案呢？学完本节课，你就能做决定了.设计意图：通过具体的问题情境，引发学生思考，积极参与互动，说出自己的见解，从而引入本节课内容.L重伯努利试验在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果.例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等.我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.我们将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验.问题L你能根据重伯努利试验的定义，归结总结它的特征吗？师生活动：教师提出问题，学生思考、讨论、交流

3、，得出重伯努利试验具有以下共同特征（1）同一个伯努利试验重复做次；（2）各次试验结果相互独立.设计意图：在具体实例的基础上理解伯努利试验和重伯努利试验的概念,并探究重伯努利试验的特征，提升数学抽象的核心素养.问题2：下面3个随机试验是否为重伯努利试验？如果是，那么其中的伯努利试验是什么？对于每个试验，定义“成功”的事件为A,那么A的概率是多大？重复试验的次数是多少？关注的随机变量X是什么？（1）抛掷一枚质地均匀的硬币10次.（2）某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8,连续射击3次.（3） 一批产品的次品率为5%,有放回地随机抽取20件.师生活动：在学生充分思考、讨论的基础上，找几名学生回答.

4、根据学生的回答情况，教师进行评价指导，最后将结果以表1的形式展示给学生：表1随机试验是否为重伯努利试验伯努利试验事件AP(A)重复试验的次数关注的随机变量X(1)是抛掷一枚质地均匀的硬币正面朝上0.510正面朝上次数(2)是某飞碟运动员进行射击中靶0.83中靶次数(3)是从一批产品中随机抽取一件抽到正品0.9520正品次数问题3：通过上述实例，你能说说伯努利试验和重伯努利试验有什么不同吗？师生活动:在学生思考的同时.，教师可以适当的引导，让学生在充分理解这两个概念的基础上进行辨析.伯努利试验是一个“只有两个结果的试验”.在实验中，只关注某个事件发生或不发生；重伯努利试验是对一个“只有两个结果的

5、试验”重复进行次，试验中关注点是某个事件“发生”的次数X.进一步地，因为X是一个离散型的随机变量，所以我们关心的是它的概率分布列.设计意图：通过具体的实例加深对伯努利试验和重伯努利试验概念的理解,通过辨析进一步理解这两个概念，提升学生逻辑推理和数学抽象的数学素养.2 .二项分布问题4：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的分布列是怎样的？师生活动：教师提出问题，学生思考、交流，教师进行指导，共同体验二项分布模型的构建过程.用A,表示“第i次射击中靶(i=l,2,3),用如下图1的树状图表示试验的可能结果.试g结果X的取他O旦一一-QA：t一A1A2A3-一39A3一

6、AiA2A1-一2Oyl3-AiAzA3一-2/().2o.s/0.2PA3AiAjA3-1-OA3-A1A2A3-2O.2-QA3().2入1入243Aq-AiA2A3一-1O?2rA3.AiA2A3一O图1由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有23=8种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个互相独立事件的积.由概率的加法公式和乘法公式得:MX=O)=P(*=0.23,P(X=I)=P(Aa冗)+P(NA2A)+p(aA)=30822，Rx=2)=P(AA24)+P(AAa)+屯44)=3X0.82X02P(X=3)=P(AAOU.为了简化表示，每次射击用1表示中靶，用。表示脱靶，那么3

7、次射击恰好2次中靶的所有可能结果可表示为011,110,101,这三个结果发生的概率都相等，均为0.82x0.2,并且与哪两次中靶无关.因此，3次射击恰好2次中靶的概率为C=xO.82O.2.同理可求中靶O次、1次、3次的概率.于是，中靶次数X的分布列为p(=k)=c;X00X0.23d,%=o,1,2,3.问题5：如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些？写出中靶次数X的分布列.师生活动：学生类比上面的分析，独立给出解答.用4表示“第i次射击中靶”(厂1,2,3,4),则表示中靶次数X等于2的结果有：AiA2A3A4,1A2A3A1,AiA2A3A4,AxA1AyA

8、4,1A23A4,AA244,共6种.中靶中靶次数X的分布列为P(X=火)=CfXoaXO.2j,k=091,2,3,4.结合上面实例，师生共同归纳得出二项分布的概念：一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为(Opl),用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=Z)=CjPA(I-广3k=,2,.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布,记作XM,p)设计意图：通过对具体问题的分析，让学生掌握二项分布的概念及其特点,发展学生的数学抽象核心素养.追问1：二项分布与两点分布有何关系？师生活动：学生独立思考，回答该问.两点分布是一种特殊的二项分布，是二项

9、分布=1的情况.追问2：二项分布和二项式定理有何联系？师生活动：学生思考、讨论、交流，教师指导.可以将P看成看看成*则Cy(I-P尸就是(1一0)+p的通项公式则有p(=k)=Cy(I-沪=(-p)+PT=L设计意图：通过比较，加深对二项分布概念的理解.3 .例题分析例1将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：(I)恰好出现5次正面朝上的概率；(2)正面朝上出现的频率在040.6内的概率.师生活动：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等，这是一个10重伯努利试验.因此，正面朝上的次数服从二项分布.本题宜先让学生思考、讨论和探究，可以先找几名学生回答，教师进行

10、指导，师生共同给出完整解题过程.解：设4二“正面朝上”，则P(A)=O.5.用X表示事件A发生的次数，则XB(Io,0.5).恰好出现5次正面朝上的概率等价于X=5,则P(X=5)=C；oX0.550.55=;IOOO256正面朝上出现的频率在0.406内等价于4XP,所以5局3胜制对甲更有利.实际上，比赛局数越多，对于实力较强者越有利.教师提出思考1：为什么假定赛满3局或5局，不影响甲最终获胜的概率？实际上，当甲或者乙先胜2局时，第3局就不用比赛了.如果设想进行比赛,第一局第二局第三局最终获胜者解法2概率解法1概率甲赢甲卿，甲赢甲0.630.62乙赢甲0.620.4乙赢乙赢乙甲赢甲0.62x0.4Ci0.620.4乙赢甲赢甲赢