圆的基本性质（第二课时）垂径分弦 教学设计.docx

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1、义务教育教科书（沪科版）九年级下册24.2圆的基本性质（第二课时）一垂径分弦合肥市第四十五中学曹伟【内容分析】垂径分弦是义务教育教科书沪科版九年级（下册）第24章内容，是在学生学习了旋转之后，从圆的特征出发，对圆展开深度学习的过程；是学生学习了圆的基本概念之后，对圆的基本性质的新探索。是圆这一章的重要内容，也是本章的基础。垂径分弦揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，培养学生思维的严谨性

2、。同时，通过本节课的教学，向学生渗透类比，转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生观察、猜想、抽象、概括、推理能力、逻辑思维能力和识图能力。本节内容在教材中处于非常重要的位置。【学生分析】学生心理特征：九年级学生思维活跃，求知欲强，对探索问题充满好奇，在课堂上有互相竞争的渴望，同时具备了一定的知识储备,但表达积极性有所减退,自我意识增强。望生认知基础：在学习本节之前，学生已经学习了圆的基本概念，明确了直径、弦等基本概念，会运用轴对称的性质解决问题，学习了勾股定理，具备了进一步学习垂径分弦的知识基础。学生能力积累：在几何的学习过程中，学生已经具备了一定的逻辑推理能力；经历过“猜想验证

3、”的数学方法，获得了在得到数学结论的过程中采用数学手段解决的经验，同时在学习过程中也经历了合作学习的过程，具有一定的合作学习的能力，具备一定的合作和交流的能力.【教学目标】目标解析：新课程理念下的数学不仅是知识的教学、技能的训练，更应重视能力的培养及情感的教育，因此根据本节课在教材中的地位和作用，结合所教学生的特点，我确定本节课的教学目标如下：L理解垂径定理的条件和结论，能证明垂径定理，会运用垂径定理进行简单的计算；2 .在解决实际问题的过程中，理解建模思想、方程思想，形成用数学看待世界，思考世界的习惯；3 .经历操作、猜想、概括、推理得出垂径定理，体会圆的轴对称性，发展学生的合情推理与演绎推

4、理的能力；【教学重难点】重点：垂径定理及其推论定理的发现、证明、及应用难点：垂径定理条件及结论的发现，垂径定理的证明【教学问题诊断】垂径定理的条件和结论学生都不难理解。难的是，如何让学生想到要研究垂径定理？为什么是这些量之间的关系？为什么这些量之间有这样的关系？以及垂径定理该如何应用？本节课从圆的对称性出发，让学生作圆及圆内弦的组合图形的对称轴，在介绍做法和证明做法合理性的过程中，自然发现垂径定理及其推论定理的条件和结论。从学生已有知识储备出发，在新旧知识之间找准最近发展区，帮助学生完成本节课的学习。从直观的感性认识到严密的逻辑推理，从动手实践到理论的概括总结，理解重点，突破难点。【教学过程】

5、L温故知新、寻本求源回顾圆的定义及相关概念，提出圆的轴对称性和旋转对称性。【设计意图】回顾概念，引出课题，将本节课的学习内容，纳入到已有知识图式，完成并构。问题1在圆上任取一点A,则点A关于CD的对称点在圆上吗？教师活动：出示图形，引导学生从操作和证明两个层面证明圆是轴对称图形。多媒体演示圆沿对称轴翻折动画；提出问题“在圆上任取一点A,则点A关于CD的对称点在圆上吗？”学生活动：观察圆的对称性，描述圆的对称轴；利用线段的垂直平分线的性质证明，圆上任意一点关于过圆心的直线的对称点依然在圆上。总结：圆是轴对称图形【设计意图】从直观出发，观察和寻找圆的对称轴，通过说明圆上任意一点关于对称轴的对称点也

6、在圆上，证明圆的对称性，从感性到理性，培养学生的推理能力，为垂径定理的证明做好铺垫.2 .植根本源、探求新知探究圆及圆内弦的组合图形的对称性，在找对称轴的过程中，得到垂径定理及其推论。问题2图3是轴对称图形吗？如果是，请画出对称轴问题3你是怎么画对称轴的？说说这样做的依据【师生活动】教师活动：出示问题；分享学生的做法，供学生交流分享。学生活动：观察思考、动手操作、交流分享；根据“找图3对称轴”，在学习任务单上操作，写出做法，并说明做法的理论依据。【设计意图】通过探究活动，培养学生多角度思考问题，按照几何逻辑思考问题的习惯，培养学生思维的严谨性。通过本环节的操作、分享和证明，学生可以自然发现垂径

7、定理的条件和结论，多种做法的呈现让学生感受条件和结论做部分对调后依然可以得到对称轴，为推论定理的研究做好铺垫。3 .立足实践、形成结论问题3作法“过圆心作垂直”的条件是什么？问题4图4中有哪些相等的量？【师生活动】教师活动：从做法“过圆心作垂直”出发，引导学生观察图形，总结该做法的条件，寻找图中相等的线段和弧。追问：什么是等弧？如何判断两条弧相等？引导学生想到利用圆的对称性折叠可重合啦证明学生活动：观察图中相等的线段和弧，并证明弧的相等关系。【设计意图】对于AE=BE,学生容易想到利用等腰三角形的性质或三角形全等来证明，但对于如何说明两条弧相等，学生很难想到叠合法。追问的目的是引导学生从弧的定

8、义出发证明两条弧相等，将几何直观与逻辑推理相结合，在培养学生思维的严谨性的同时，突破证明难点。问题5已知：如图，在。中，CD是直径，AB是弦，且CD_LAB,垂足为E.求证：求证：AE=EB,初=M（或M=疗C）.问题6用语言概括问题5中的结论.【师生活动】教师活动：出示问题学生活动：根据问题3和问题4总结作法“过圆心作垂直”的条件和结论，总结：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧【设计意图】通过同届垂径定理，加深学生对垂径定理的理解，培养学生分析问题的能力和概括能力。问题7类比第一种做法，同学们可以从作法“取中点连圆心”到怎样的结论呢？请同学们小组合作，交流讨论。【师生活动】教师活动：

9、出示问题，组织学生开展小组讨论活动。学生活动：类比第一种对称轴做法的研究策略，自行研究垂径定理的推论。总结：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧【设计意图】类比垂径定理的研究经验，研究垂径定理的推论，让学生感受类比的思想方法，加深对本节课内容的理解。问题8从做法“作弦AB的中垂线”可以得到什么结论呢？追问垂径定理及其推论定理有什么联系和区别？定理的条件和结论，还可以做这样的变化呢？【师生活动】教师活动：引导学生思考定理的继续变式的方向。学生活动：平分弧除了可以做结论，还有作为条件的可能，为课后研究找准方向。【设计意图】通过对垂径定理的变式思考，引导学生思考垂径定理中“知二推三

10、”推论定理，培养学生全面思考问题的习惯，发展学生的变式思维能力；通过课堂留白，给学生更充分的自主思考和研究的机会，变学数学为研究数学。环节四问题解决、深化新知解决两个问题，深化学生对垂径定理的理解。例1.如图，在团。中，半径为5cm,弦AB为6cm,求圆心O到弦AB的距离.【师生活动】教师活动：出示问题，板书记录学生的过程；介绍弦心距的定义。学生活动：思考辅助线的添加，并完成解答.【设计意图】通过例1,巩固垂径定理的条件和结论；通过过程分析和板书，培养学生解题规范；介绍弦心距的定义。例2.赵州桥建于1400年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥梁的下部呈圆弧形，桥的跨度（弧所对的弦长）为3

11、7.4m,拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m,求赵州桥桥拱所在圆的半径.（精确到0.1m）【师生活动】教师活动：解读题目，引导学生画出图形。将例1和例2的图形结构整合出来，并引导学生思考垂径定理解决问题的一般方法。学生活动：分析辅助线的添加方法，完成辅助线添加；完成题目解答。总结：垂径定理是证明圆内相等关系非常重要的结论，并且可以将圆内的问题转化到直角三角形中借助勾股定理解决。【设计意图】题目本身是垂径定理或其推论定理的应用；在具体的解题过程中，感受将圆的问题转化为勾股定理解决；题目以中国传统建筑为背景，可以培养学生的文化自信，可以让学生感受到自己学的是有用的数学知识。环节五课堂小结、整合提

12、升L本节课我们是如何研究垂径定理的？2 .通过本节课的学习，我们掌握了哪些知识？3 .通过本节课的学习，你领悟到哪些思想方法？【设计意图】通过课堂小结，引导学生从研究路径整合方法；从研究内容巩固知识；从思想方法升华能力。环节六作业布置、学以致用基础类作业（必做）L己知：00的半径为2cm,弦AB=2V3cm,求弦AB中点到它所对劣弧中点的距离.拓展类作业（选做）2.已知：团。的半径为5cm,弦AB国弦CD,AB=6cm,CD=8cm,求AB与CD之间的距离.【板书设计】24.2.2垂径分弦1 .圆是轴对称图形2 .垂径定理：符号语言：3 .推论定理：符号语言：4 .半径、弦、弦心距、弓高间关系

13、例1例2【教学反思】“垂径分弦”是圆的重要性质之一，也是全章的基础之一，在整章中占有举足轻重的地位，是今后研究圆与其他图形位置关系和数量关系的基础，这些知识在日常生活和生产中有广泛的应用，由于垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，因此，它是整节的重点，由于垂径定理的条件和结论都比较复杂，因此理解和证明定理本身是本节课的难点，在教学中也是一节较难把握的课。存在问题：部分学生对不解渴的理解还不够深刻，不能灵活应用知识解决实际生活中的问题（求赵州桥主桥拱的半径）。本节课不断激发学生学习的积极性与主动性，培养学生的思维力、想象力和创新精神，努力使每个学生的身心都能得到充分的发展。