线性代数复习资料.ppt

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1、1Chapter 1 1. 矩阵及运算矩阵及运算;2.行列式的性质及定理行列式的性质及定理1.2;3. 矩阵矩阵A可逆可逆存在存在n阶矩阵阶矩阵B, 使得使得ABBAE; A非奇异非奇异(或非退化或非退化),即即|A| 0; A的等价标准形为的等价标准形为E; A可表示为有限个初等矩阵的乘积可表示为有限个初等矩阵的乘积; R(A)=n; 齐次线性方程组齐次线性方程组AX0仅有零解仅有零解; A的行的行(列列)向量组线性无关向量组线性无关; A的特征值均不为零。的特征值均不为零。4. 可逆矩阵的性质可逆矩阵的性质P3625. 特殊分块矩阵的逆矩阵特殊分块矩阵的逆矩阵 设设A为为m阶可逆矩阵阶可逆

2、矩阵, B为为n阶可逆矩阵阶可逆矩阵, C为任意为任意m n(或或n m)阶矩阵阶矩阵, 则则-1-1-1A0A0=;0B0B-1-1-10A0B=;B0A01-1-1-1-1ACA-A CB=;0B0B-1-1-1-1-1A0A0=;CB-B CAB6. 矩阵的初等变换与矩阵的秩矩阵的初等变换与矩阵的秩3Chapter 2 1. 向量的线性组合向量的线性组合;2. 线性相关与线性无关线性相关与线性无关;3.向量组的极大线性无关组与向量组的秩向量组的极大线性无关组与向量组的秩;4. 齐次线性方程组齐次线性方程组AX0的基础解系的基础解系;非齐次线性方程组非齐次线性方程组AXb的通解的通解; 5

3、. Rn中的标准正交基及正交矩阵。中的标准正交基及正交矩阵。4Chapter 4 1. 特征值与特征向量特征值与特征向量;2. 相似矩阵及性质相似矩阵及性质;3. 实对称矩阵的特征值及特征向量实对称矩阵的特征值及特征向量;4. 矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件。51.判断下列命题正确与否判断下列命题正确与否, 并说明理由并说明理由(1)若若n阶矩阵阶矩阵A,B满足满足|A|=|B|，则则A=B ;(2)若若n阶矩阵阶矩阵A,B满足满足AB BA, 则则|AB| |BA| ;(3)若若n阶矩阵阶矩阵A,B满足满足|A+AB|=0A = -AB;(4)若若n(1)阶矩阵阶矩阵A满足满足|A|=

4、k, 则则|A+A|=2k ;(5)若若n阶矩阵阶矩阵A,B满足满足AB=E, 则则|A|=|B| ;(6)若若n阶矩阵阶矩阵A,B的元素均为整数的元素均为整数, 且且AB=E, 则则|A|=|B|; 6(7)二阶行列式等于零二阶行列式等于零行列式的两行成比例行列式的两行成比例;(8)若若n阶矩阵阶矩阵A,B的为对角阵的为对角阵, 则则|A+B|=|A|+|B|;(9)若若A为奇数阶矩阵为奇数阶矩阵, 则则|A - AT|=0;(10) 设设A,B均为均为n阶矩阵阶矩阵, 则则AB不可逆不可逆的充分必要的充分必要条件是条件是A,B中至少有一个不可逆中至少有一个不可逆;(11)若若n阶矩阵阶矩阵

5、A,B满足满足AB=E，则则AB=BA;(12)若若A*为为n(1)阶矩阵阶矩阵A的伴随矩阵的伴随矩阵,则则|(2A)*|=2n-1|A*|. 7解解: (12) 令令B2A,则则Bij=2n-1Aij , i, j=1, 2,n. 因此因此 B*=2n-1A* 从而从而|B*|=|(2A)*|=2n(n-1)|A*| =2n(n-1)|A|n-1.8(13)若若A,B均为均为n阶可逆矩阵阶可逆矩阵, 则则A+B可逆可逆;(14)若若A,B均为均为n阶矩阵阶矩阵,且且A+B可逆可逆, 则则A与与B均均可逆可逆;(15)若若A,B,A+B均为均为n阶可逆矩阵阶可逆矩阵,则则A-1+B-1为为可逆

6、矩阵可逆矩阵 ; 解解(15) A-1+B-1= A-1+A-1AB-1=A-1(E+AB-1)=A-1(BB-1+AB-1)=A-1(A+B)B-1因此矩阵因此矩阵A-1+B-1可逆。可逆。9(16)若若n阶矩阵阶矩阵A的元素均为整数的元素均为整数, 则存在元素为整数则存在元素为整数的的n阶矩阵阶矩阵B, 使得使得AB=E的充分必要条件是的充分必要条件是|A|1;(17)若若n阶非零矩阵阶非零矩阵A满足满足AB=0, 则则B=0;(18)若若A是是n阶矩阵阶矩阵, 且且|A|=1, 则则(A*)*=A; (18)解解:由由|A|=1有有A*A=|A|E=E,由由 (A*)*(A*)=|A*|

7、E=E 有有则则|A*|=|A|n-1=1, (A*)*=(A*)-1又由又由A*A=E有有,(A*)-1=A, 因此因此 (A*)*=(A*)-1=A. 10(18)若若A是是n阶可逆矩阵阶可逆矩阵, 则则(A*)*=|A|n-2A;解解: 由由A*A=|A|E有有由由 (A*)*(A*)=|A*|E=|A|n-1E 有有|A*|=|A|n-1 0, (A*)*=|A|n-1(A*)-1又由又由 A*A=|A|E有有 A*=|A|A-1 因此因此 (A*)*=|A|n-1(|A|A-1)-1=|A|n-2A.11(19)若若A,B均为均为n阶可逆矩阵阶可逆矩阵,则则(AB)-1=A-1B-1

8、的充分必的充分必要条件为要条件为AB=BA;(20)设设A为为s n阶矩阵阶矩阵,r(A)=s,则则s n;(21)设设A为为s n阶矩阵阶矩阵,r(A)=s,则方程组则方程组AX= 有解有解;(22)设设A为为s n阶矩阵阶矩阵,r(A)=s,则方程组则方程组AX= 有唯一解有唯一解;(23)设设A为为s n阶矩阵阶矩阵, B为为n s阶矩阵阶矩阵,r(A)=s, 若若B满足满足BA=0, 则则B=0; 12(24)设设A为为s n阶矩阵阶矩阵,若若A有一个有一个n阶子式不为零阶子式不为零, 则线则线方程组方程组AX=0只有零解只有零解;(25)若向量组若向量组 1, 2, , s线性无关的

9、充要条件是每一线性无关的充要条件是每一个向量都不能由其余个向量都不能由其余s-1个向量线性表示个向量线性表示;(26) n维向量维向量 1, 2, n线性无关的充要条件是它们可线性无关的充要条件是它们可以表示任一以表示任一n维向量维向量;(27)方阵方阵A属于同一个特征值的特征向量必线性相关属于同一个特征值的特征向量必线性相关;(28)设设 0是矩阵是矩阵A的特征值的特征值,则则r( 0E-A)1), k为非零常数为非零常数,则下列结论中正确的是则下列结论中正确的是( )(A) (A+B)-1=A-1+B-1 (B) (AB)-1=A-1B-1 (C) |(kA+B)-1|=k-1|A-1+B

10、-1| (D) (AB)T-1=(A-1)T(B-1)TDD269.设设A,B为为n阶矩阵阶矩阵,则下列结论中正确的是则下列结论中正确的是( )(A) (A+B) (A-B)=A2-B2 (B) (AB)2=A2B2 (C) 由由AC=BC必可推出必可推出A=B (D) A2-E=(A+E)(A-E)10.设设A,B为为n阶矩阵阶矩阵, k为正整数为正整数, 则下列结论中不正确的是则下列结论中不正确的是( )(A) |AT+BT|=|A+B| (B) |AT+BT|=|A|+|B| (C) |(AB)k|=|A|k |B|k (D) |AB|=|BA|DB2711. 设设A是是n阶矩阵阶矩阵,

11、 则则| |A*|A|=( )2222nn -nn -n+1n +n(A) A(B)A(C) A(D) A12. 设设A是是n阶矩阵阶矩阵, 则则|(2A)*|=( )22n*n-1*n -n*n*(A) 2A(B)2A(C) 2A(D)2ACC2813. 已知已知 则则|A|中的一次项系数是中的一次项系数是( )-10 x111-1-1A =,1-11-11-1-11(A) 22 (B) -22 (C) 1 (D) -113解解: 将行列式按第一行展开时将行列式按第一行展开时, |A|=-A11+xA13-A14 因此因此|A|中的一次项的系数为中的一次项的系数为A13,即即B1311-11

12、00A= 1-1-1 = 1-20 = -41-111-222914. 如果矩阵如果矩阵A,B,C则均为则均为n阶方阵阶方阵, 且且ABC=E, 则有则有( )(A) ACB=E (B) CBA=E (C) BAC=E (D) BCA=E15. 如果矩阵如果矩阵A满足满足A2A , 则则( )(A) A=0 (B)A=E (C)A=0或或AE (D)A与与A-E中至少有一个不可逆中至少有一个不可逆DD3016. 设设3阶方阵阶方阵A=( 1, 2, 3), 其中其中 i, i=1,2,3为为A的列向量的列向量,且且|A|=2, 记记B=( 1, 1+3 2, 3), 则则|B|=( ) (A)

13、 -2 (B) 0 (C) 2 (D) 616.解：解： |A|=|( 1, 2, 3)|, |B|=|( 1, 1+3 2, 3)|D=|( 1,3 2, 3|=3|( 1, 2, 3)| =3 2=6.3117.向量组向量组 1, 2, 3线性相关线性相关, 1, 2, 4线性无关线性无关, 则则( ) (A) 1必可由必可由 2, 3, 4线性表出线性表出 (B) 2必不可由必不可由 1, 3, 4线性表出线性表出 (C) 3必可由必可由 1, 2, 3线性表出线性表出 (D) 4必不可由必不可由 1, 2, 3线性表出线性表出D3218. 已知向量组已知向量组 1, 2, 3, 4中中

14、 2, 3, 4线性相关线性相关, 则则( )(A) 1, 2, 3, 4线性无关线性无关 (B) 1, 2, 3, 4线性相关线性相关 (C) 1可由可由 2, 3, 4线性表出线性表出 (D) 3, 4线性无关线性无关B3319. 向量组向量组 1, 2, s 线性无关的充要条件是线性无关的充要条件是( ) (A) 1, 2, s 均不为零向量均不为零向量, (B) 1, 2, s 中任意两个向量的分量成比例中任意两个向量的分量成比例, (C) 1, 2, s 中任意一个向量均不能由其余中任意一个向量均不能由其余s-1个向量个向量线性表出线性表出, (D) 1, 2, s 中有一部分向量线

15、性无关。中有一部分向量线性无关。 C3420. 向量组向量组 1, 2, 3 线性无关线性无关, 则下列向量组中线性无关则下列向量组中线性无关的是的是( ) (A) 1+ 2, 2+ 3, 3- 1, (B) 1+ 2, 2+ 3, 1+2 2+ 3, (C) 1+2 2, 2 2+3 3, 3 3+ 1, (D) 1+ 2+ 3, 2 1-3 2+22 3, 3 1+5 2-5 3.C3521. n维维向量组向量组 1, 2, s(3 s n)线性无关的充要条件线性无关的充要条件是是( ) (A)存在一组不全为零的数存在一组不全为零的数k1,k2,ks, 使得使得 k1 1+ k2 2+ k

16、s s =0, (B) 1, 2, s中任意两个向量都线性无关中任意两个向量都线性无关, (C) 1, 2, s中存在一个向量不能表示为其余向量的中存在一个向量不能表示为其余向量的 线性组合线性组合, (D) 1, 2, s中任意一向量都不能表示为其余向量的中任意一向量都不能表示为其余向量的 线性组合线性组合. D3622.若若A=(aij)m n,AX=0是方程组是方程组AXb的导出组的导出组, 则下列则下列结论中正确的是结论中正确的是( ) (A)若若AX0仅有零解仅有零解, 则则AXb有惟一解有惟一解, (B)若若AX0有非零解有非零解, 则则AXb有无穷多解有无穷多解,(C)若若AXb有无穷多解有无穷多解, 则则AX0有非零解有非零解,(D)若若AXb有无穷多解有无穷多解, 则则AX0仅有零解。仅有零解。C3723. 在非齐次方程组在非齐次方程组AX=b中中, 未知量个数为未知量个数为n,方程方程个数为个数为m, 且且R(A)=r,则则( ) (A)当当r=m时方程组时方程组AX=b有解有解. (B)当当r=n时方程组时方程组AX=b有唯一解有唯一解.(C)当当m=n时方程组时