中科大《线性代数与解析几何》讲义3矩阵与行列式.docx

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1、第三章矩阵与行列式?3.1矩阵的概念对任意正整数m和n )由m n个数或不定元排成的m行n列的表/ 、11 12 2n I21 a22 32n I、:ii(31)(m1 a12 mn称为一个m n矩阵。表中的每个数或不定元称为矩阵的元素。排在第行 第例的元素a0称为矩阵的第(i, j)元素:当i = j时)命也称为矩阵的对角元。 矩阵(3.1)通常记为(aij)mn0两个矩阵相等)当且仅当它们的行数和列数都相 等)且每个位置上的元素都相等。下面介绍几种常见的矩阵名称。 n矩阵称为n阶方阵。 元素都是O的矩阵称为零矩阵)通常记为0。 对角元是1其它元素都是0的方阵称为单位阵)通常记为I。 对角元

2、是a其它元素都是0的方阵称为数量阵)通常记为al。 若方阵A = (a%满足a = 0对所有i力成立)A称为对角阵)通常记 为A = diag(a,., 3 ) 若矩阵A = (aij)m*n满足剪=0对所有i j成立)则A称为上三角阵。 若矩阵A = (aij)m*n满足aij = 0对所有i 2n A + B= jl 32)(Sml + bm13m2 + bm2 amn + bmn 和/ 、As”a12a1nja2a22a2nA= ,.ji(3.3)(rn1 入 a2 XXX 3m分别定义了矩阵的加法运算和数乘运算)记为A + B= (aj + bij )m, 入A=(Aaij)m *n类

3、似地)可以定义矩阵的减法运算和负矩阵A . B = (aj . bij )m Xn A= (.aij)mn按照定义)只有大小相同的矩阵才可以相加减。定理3.1.矩阵的加法和数乘运算具有下列性质，(1) A + B = B + A:(2) (A + B) + C = A + (B + C)：(3) A+O=O+A=A:(4) A + (.A) = (.A) + A=O:(5) ( + )A = AA + A:(6) (A + B ) = A + AB ：(7) ()A = (A):(8) 1A = A0因此)数域F上的所有m n矩阵构成F上的一个线性空间)记为Fmx% 设Eij为(i, j)位置

4、元素等于1 )其它位置元素等于。的m n矩阵)则每个矩 阵A = Sij )mxn都可以唯一地表示成A =么* Eij的形式。于是)Fmxn的 i, j维数等于mn )且Eij 1 i m, 1 j nl是FmXn的一组基。?3.2.2矩阵的乘法并非任意两个矩阵A与B都可以相乘)只有当A的列数等于B的行数 时)A与B才可以相乘 设A = (aij)mx)B = (bij)np)定义A与B的乘 积AB = (Cij) m*p)其中nj aCij = ikbkj = aibij + a2b2j + X + n bj(3.4)k- 1即Cij等于A的第行与B的第j列相应元素的乘积的和。(1)即使A与

5、B是同阶方阵)AB与BA也不一定相等。(2)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。(3)在A的左边乘上对角阵相当于将A的各行分别乘上一个数)在A的右边乘 上对角阵相当于将A的各列分别乘上一个数。特别)用数量阵l与A相乘 的效果等于矩阵的数乘入A。更特别)IA=Al = A)OA=Ao= Oe定理3.2.矩阵的乘法运算具有以下性质，(1) (AB)C = A(BC)：(2) (AB ) = (A)B = A(B )：(3) A(B + C) = AB + AC ：(4) (B + C)A = BA + CAe其中A, B, C是使运算有意义的矩阵认是数或不定元。通过矩阵的乘法)可以定义任意方阵A的正整

6、数次幕Ak = A A., k = 1,2,.另外)对任意方阵A包括零方阵)规定A。= I0有了方阵的各次幕)就可以将 方阵带入多项式求值。设多项式f(x) = Co+CX+X X + CkXk)定义f(A) = C01 + Ci A + X + ckAk(3.5)类似地)对收敛的无穷级数g(x) = C0 + C1X+ +ckxk+ )同样可以定义?3.2.3初等变换通过对线性方程组实施初等变换）可以消去方程组中的某些变元）将方 程组化为阶梯形。对于矩阵）也可以进行同样的操作， 交换某两行（列）的位置： 用某个非零数乘以某行（列）： 某行（列）的若干倍加到另一行（列）O以上三种对矩阵的行的操

7、作称为矩阵的初等行变换）三种对矩阵的列的操作 称为矩阵的初等列变换）这六种操作统称为矩阵的初等变换。对单位方阵施 行初等变换）得到的方阵称为初等方阵。 交换单位阵的第i. j行）或交换第i, j列）得到/ 、J ij01；-第i行Sij=,I（3.6）1OI-第j行.i（1用数人乘以单位阵的第i行）或用数人乘以第i列）得到J. I1IiPi（A）= |I-第i行（3.7）：1 I（： -l1将单位阵的第j行的八倍加到第i行）或将第i列的八倍加到第例）得到/ 、J.L1 第i行TiQ）=,l（3.8）1 i-第行定理3.3.对矩阵作初等行变换）相当于在矩阵的左边乘上一个初等方阵:对 矩阵作初等列

8、变换）相当于在矩阵的右边乘上一个初等方阵。?3.2.4矩阵的分块在矩阵运算过程中）如果总是把矩阵的所有元素都写出来）这将是一个非常繁琐的工作）有时既无必要也不可能。一个自然的方式是把m n矩阵视作n个列向量按行排在一起）或m个行向量按列排在一起。记为/J、 2A = 1 a2 . . . a 或 A=（Bm 一般地）可以将矩阵同时按行按列分成若干块。/ 、An A12 . AISAg 1 A2 j. 2 sA = （Ajj）rxs =（3.9）（.Arl Ar2ArS称为分块矩阵）每个Aij称为A的子块。更一般地）由A的若干行I=i , 2ir I和若干列J = j , j2jsl上的元素组成

9、的r S矩阵称为A的B12 BlSZAn B2 Brs子矩阵）通常记为A（l, J）。设矩阵 / Bn Ih B= （Bj） r X s =（BrI与A有着相同的矩阵大小和分块方式）入是一个数或不定元。易见 /Ai 1 + Bn A12 + B12 . . . Ais + BisA + B = (Ajj + Bjj )r XA21 + B21 A22 + B22 A2s+ B2s入AIlI入 A21入Ai 2 A2XXX 拗!XXXIAA = (Ajj )r * s二I(AArlAr2：IXXX AAfsXXX对于分块矩阵的乘法)也有类似的结论。定理3.4.设m n矩阵A和n p矩阵B被分块成

10、为A= (Aij)rxs, B = (Bij)sxt) 其中每个Aik的列数与每个Bkj的行数相同。则有 / 、 XXX XXX XXXAB IAikBkj(k.1 XXXXXX?3.2.5共匏、转置和迹当A是复矩阵的时候)将A的每个元素换成它的共辄复数)得到的矩阵an a12 ama1 a2 XXX 8fn称为A的共匏矩阵。映射A称为共扼运算。3.5l矩随共唾算具有以下隹质,(1)7 = A (2) A + B =A + B (3) A = A (4)aB =A B (5) AT =T)其中A, B是使运算有意义的复矩 阵)是复数或不定元。将矩阵A= (aj)mn的行列互换)得到的矩阵/ 、

11、a11 XXX ami A = (aji)nxm = | a12 a2 XXX am2 j(3.11)称为A的转置矩阵。映射A-AT称为转置运算。定理3.6.矩阵的转置运算具有以下性质,(1) (AT)T = a (2) (A+B)T = A+ Bt (3) (A) = AAT (4) (AB)T = BTAT)其中A, B是使运算有意义的 矩阵)人是数或不定元。矩阵A的对角元之和)称为A的迹)记作tr(A)。定理3.7.矩阵的迹具有以下性质,(1) tr(A+ B ) = tr(A) + tr(B) (2) tr(A)= tr(A) (3) tr(AB) = tr(BA)其中A, B是使运算

12、有意义的矩阵)人是数或不定J Uo?3.3行列式2阶行列式2 = la b,. b2的几何涵义是以 =，a2), =(耕，b2)为邻边的平行四边形的有向面积:3阶行列式b 1& = ，如5 bt C9的几何涵义是以 = (a, a2, a3), = (bi, b2, b3), = (ci, C2, C3)为棱的平行六 面体的有向体积。对于一般正整数n )我们也希望能够计算n维向量6 ,2,.1而张成的n维平行 多面体的有向体积Fn。这就是n阶行列式)记为An= det(a ,a2,.,a)?3.3.1行列式的定义设5 ,。2, , an, , 2, ., Bn是任意n维向量)x, y是任意常数。满足下 面性质、(2)、(3)的函数det(a,c2%)称为n阶行列式，(1) det(a ,a25)对于每个变量a都是线性的。det(., xai+ yi,.) = Xdet(., a,.) + y det(., i 1.)(2)如果5 ,a2,.,a中存在两个向量相等)则函数值为0。det(., aa ,.) = 0(3)单位正方体的有向体积”等于1。设e,e2,.,en是单位坐标向量)则有det(e, e2e) = 1由性质和性质(2)我们还可以得到(4)将5 ,。2,. .,即中某两个向量互换位置)行列式