中科大《线性代数与解析几何》讲义5线性变换.docx

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1、第五章线性变换?5.1线性变换的概念?5.1.1线性变换的定义定义5.LL设U, V为数域F上的两个线性空间,映射爱：U二V称为线性映射,如 果对任意A J U,入 F.都有：爱(x +y)=爱+爰 W(5. 1)爱(M =人爱(M(5.2)则称爱为从线性空间U到线性空间V的线性映射.特别地,如果U = V,则称爱为 线性空间V上的一个线性变换.?5.1.2线性变换的例子例把每个向量映为自身的变换侈：侈(X)=X,x V;以及把每个向量映为 零向量的变换份:份W = 9,x V.不难看出这两个变换为线性变换.侈称为单位变换或恒等变换,份称为零 变换.例5.1.2.设F“为数域F中的元数组空间.

2、A =(劭为阶方阵变换爱：F“二F症义为:对每个X = S ,x2n) F(这里我们用列向量表示F中的向量), Cln Xn 42 Cinn由矩阵的乘法法则知变换爰为线性变换.映射或变换是一个几何概念,我们日常生活中经常碰到的镜面反射、旋转 等都是线性变换.例5.13本例中,我们用列向量表示R2的向量.变换爱：R2二史将每个向量映I、i 、到关于居由对称的向量(见图1).设。=* ,则爱() = x .用矩阵表示就s _)L / (i o K 爱()=爱 =y Lt T y由例5.1.2知爱为线性变换.称为关于居由的镜面反射.、设变换爱：R2二R2是将每个向量逆时针旋转9角的变换.设 = ,爱

3、(a)IXy= S我们利用复数来计算,，。.设向量。对应的复数为厂的.则爰9)对应的复 数为修h9)因此 = r cos(+9) = r cos Ocos9 _ r sin Osin9=x cos9 _ y sin 9= r sin(+9) = r cos Osin9 + r sin Ocos9=x sin9 + y cos9用矩阵表示就是爱()=爱由例5.1.2知爰为线性变换,称为旋转变换.下面介绍我们熟悉的空间中的一些线性变换.例5.1.4.在IMM中,设爱为微分算子爰(P(X)=力由微分法知爱为线性变换.例5.15在由2阶方阵构成的线性空间中,对取定的方阵定义变换I X I 、1、Eab

4、 B a b 爱=由矩阵的乘法法则不难看出爰为线容斐够C d?5.1.3线性变换的性质下面的命题给出了线性变换的一些简单性质.命题5.1.1.设爰：V二V为线性变换,则(1)爰(9) = 9;爱 Ja) = _爱(a), a V若Ch , 2 ,，Cb为V中线性相关的向量.则爱(8 ),爱(。2),，爱(叫也线性 相关.证明:爱(9)=爱(O . ) = O .爱=9;爱(_。)=爱()=()爱(。)=一爱()(2)设3,02。线性相关,则存在不全为零的N ,入2 ,， F,使得 +2G2 + . . . +AmQwt= 9 ,两边用线性变换爱作用后彳导到入I 爱(。1 )+入2爱(。2 )+

5、.+入I爱(Qwr)=爱(0 +2G2 + . . . +hnQm)=爱(9) = 9因此爱(。1 ),爱(。2),，爱(Ow)线性相关这个命题说明线性相关的向量组经过线性变换后,仍保持线性相关性.特 别地将它应用到R3空间就意味着线性变换把共线的向量映为共线的向量,把 共面的向量映为共面的向量.但是它的逆命题不成立.线性无关的向量经过线 性变换后,可以成为线性相关的.例如零变换.?5.2线性变换的矩阵我们将数域F上维线性空间V的全体线性变换所构成的集合记为L(V),将 数域F上的全体阶方阵所构成的集合记为M”(F).本节我们将说明在给定的一 组基下,集合L(V)与集合M(F)之间存在一一对应

6、.?5.2.1线性变换在一组基下的矩阵定义521.设爱：V二V为维线性空间V上的线性变换.(8 ,。2 ,，明为V的 一组基.如果数域F上的方阵A满足爱(3, c(2, , ) = (a, a2,., a)A(5.3)则称方阵A为线性变换爱在基(3 , az, ., a)下的矩阵.注1由定义知矩阵A的第洌恰为爱在基，S,.。)下的坐标,因此一个 线性变换在给定的一组基下的矩阵是唯一的.定理5.2.1.设线性变换爱:V二V在基，, 叫下的矩阵为A x,.y vy = 爱(X).若.V在基(a I ,a2,.,叫下的坐标分别为X,匕则YAX(5.4)、/y、证明：设X =, Y I 则,(5.5)

7、y=爱()=爱(,，0):：Xn=爱(X。I + . . . + XnGn)=川 爱(。1) + .+ X“爱(。)/ /%、=爱(),，爱 9)、 *(5.6)Xn /X、1=z*(,. ., a)A.Xti X !.、=(Oi,. ,a) A由于一个向量在一组基下的坐标是唯一的,我们得到(5.4)式.下面我们来看如何计算线性变换爱在一组基下的矩阵A.例5.2.1.设例5.L2中线性变换爱在自然基白 ,力，”下的矩阵为 .由爱的定 义知1 Urfl an 0因此1的第一列与A的第一列相同.同理，1的第j (2 j 洌与A的第洌 相同.所以上=A.即爰在自然基切,e2, . .,气下的矩阵为4

8、作为推论,例5.1.2中的变换爱在自然基T的矩阵为A.例5.1.3中对称变换和旋转变换在自然基下的矩阵分别是P , fan (0 -I xi 8、.例5.22在例5.1.5中,取基、 1 、IIII1 00 I0 00 0则=Ctei + O 02 +y。+ O 64= Oel +e2 + 0 03 +y4=B 勺 + 0 2 + 8 03 + 0 64= OeI +B2 + 0 + 8史/ a爱W）=y爰（。）=y爱3 ）=y爱口）= y00 1Q0*ay0I81O000、 ay、00、B8B 08 0/a10 A =;y0所以爰在基，及，63, G下的矩阵80 .上例中的变换爰虽然是由通过

9、左乘矩阵M得到,但爱在自然基下的矩阵 M它们的阶数甚至都不相同.读者应注意它与例5.L2的区别.?5.2.2 L (V)与MMF)的对应下面的定理指出了 L(V)与M(F)之间的一一对应关系.定理5.2.2.设V为数域F上的维线性空间,2,.,。“为V的一组基.则存在一 一映射O : L(V)二M(F),使得对每个爱 L(V), 0(爱)为爱在基Ch ,a2,.1 a”下 的矩阵?5.2.3线性变换的运算虽然我们发现了一一对应。,但它仅仅是两个集合间的一种对应关系,它是 否能保持更多的数学结构呢?例如MMF)在矩阵的加法和数乘下构成数域F上 的一个线性空间,在L(V)中能否引入适当的运算.使之

10、成为线性空间.并使O成 为线性同构呢?答案是肯定的.设爱，S L(V), F,定义爱+S,入爰，S。爱 L(V)如下:对每个 V,(爱 +S)(x)=爰(x) + S(x)(人爱)(力=人爱(X)(S 爱)(%) = SZ爱 Wx不难看出L(V)在上述加法和数乘运算下构成线性空间. 定理5.2.3.设O L (V)二M”(F)为定理5.2.2中定义的映射.则对爰，S L(V)1 E有(1)。(爰 +S) = 0(爱) + 0(S),(2) o(爰)=o(), 0(S o 爱)=o(s) . 0(爱)特别地,(2)表明0为线性同构.证明：?5.3矩阵的相似线性变换的矩阵是以空间的一组取定的基为前

11、提的.一般来说同一线性变 换在不同基下的矩阵是不一样的.现在我们来寻找同一线性变换在不同基下的 矩阵之间的关系.定理5.3.1.设线性变换爱在V的两组基S , 2, ，。,和B|, B2. . B 下的矩阵分 别为4和及从基E , a2, a“到基B, B2, 的过渡矩阵为7：则B=T-IAT证明：已知爱(a, a:,., a”) = (a, a2,., a“)A爱(B, Bz,., B) = (Bi, B2,., B/j)A(B), B2,., B?) = (aI, a2, a) T于是爱(BI, B?,，B)=爰 /(%, az, ,。)丁/=爱(3,02,.,5) T=/ai,。2 ,，

12、a)A T= (a,a2,. ,an)(AT)=(B , B2, ., B)(T- 7)定义5.3.1.设4,8为数域F上的两个阶方阵,如果存在数域F上的阶可逆方阵7,使 得B= T-IA 7,则称4与8(在数域F上)相似,记为A B.命题5.3.2.矩阵的相似关系为等价关系.即满足以下三个条件：(1)(反身性)A A;(2)(对称性J若A则8 A;(3)(传递性)若A 8, 3 C,贝必C.证明：(1)因为A = I-A /,所以AA.(2)设A氏则存在可逆方阵兀使得8 = T-IA 7所以A= (T-* )-B 7，即 A.(3)设A -ByB- C,则存在可逆方阵7, S,使得8 = T

13、-A RC= S-出S,所以C= S-1 (T-A T)S= (TS)-A(TS),即AC.由于相似关系为等价关系，可以将阶方阵按相似关系进行分类:将相互之间相 似的方阵归成一类.两个类要么是一样的,要么就不相交.每个类称之为一个相 似类,该类中的每个元素都称为一个代表元.定理531指出:一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的.那么反过来.属 于某一相似类的所有方阵,是否都是该线性变换在不同基下对应的矩阵呢?回 答是肯定的.事实上,设A为线性变换爱:V二V在基3 ,2,.,。“下的矩阵.若8为A所 在的相似类中的任一元素很118与A相似,即存在可逆方阵儿使得8= 7TA T.令(B , Bz ,

14、 . . . , Bm) = (ai , 02 , . . . , On) T,则Bl ,B2,. , B也是V的一组基,且不难验证爱在这组基下的矩阵为正一般说来,一个线性变换的性质与空间的基没有关系.因此,通过矩阵研究 线性变换的性质时,只有相似的矩阵都具有的性质.才有可能反映线性变换的 性质.如果一个性质为某个方阵所具有,则与之相似的方阵也具有该性质,则称 该性质为一个相似不变量.例如,方阵的行列式和秩都是相似不变量.读者可以 思考这两个不变量反映的是线性变换的哪些性质.在下一节中我们要介绍更多 的相似不变量.?5.4特征值和特征向量?5.4.1特征值与特征向量的定义定义541 ,设为数域F上的阶方阵.如果存在入 F及非零向量X F.使得AX = 入X,则称人为方阵A的一个特征值,而称X为属于特征值的一个特征向量.命题54L设A为数域F上的阶