高数一章5节ppt课件.ppt

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1、1第五节第五节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大0 无穷小与无穷大的概念无穷小与无穷大的概念0 无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系 0 无穷小与无穷大之关系无穷小与无穷大之关系2一、无穷小一、无穷小定义定义1 1 若若0 xx时，函数时，函数()0,f x 则称函数则称函数()f x0 xx()x 或或为为时的时的无穷小无穷小.()x 或或当当例例1 11lim(1)0,xx函数函数 1x 当当1x 时为无穷小时为无穷小;1lim0,xx 函数函数 1xx 时为无穷小时为无穷小;1lim0,1xx 函数函数 x11当当x 时为无穷小时为无穷小.300,lim()0,lim()0,lim(

2、)0,lim()0.()(.xxxxxxf xf xf xf xf x另另外外 若若则则是是无无穷穷小小 对对相相应应的的过过程程而而言言)注注:(2)无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;但零但零 是可以作为无穷小的唯一的数是可以作为无穷小的唯一的数.(1)(1)在理解无穷小时在理解无穷小时,要指明自变量的变化过要指明自变量的变化过 程程,且在这个过程中且在这个过程中(因因)变量以变量以0 0为极限为极限 .40 lim1()()(),xxf xAf xAx 定定理理其其中中)x (或或)x (或或0lim()0.xxx :无无穷穷小小与与函函数数极极限限有有如如下

3、下关关系系5二、无穷大二、无穷大0000 ()(|),0,00),0|-|(|),|()|()()lim()(li(2m)xxxf xxxMXxxxXf xMf xxxxf xf x 设设函函数数在在 的的某某一一去去心心邻邻域域内内有有定定义义 或或大大于于某某一一正正数数时时有有定定义义 如如果果对对于于(或或当当或或时时 有有则则称称函函数数为为当当或或时时无无穷穷大大的的.记记为为或或定定义义).60()lim()(),xxxf x 正正无无穷穷大大|()|()(),f xMf xMf xM 若若在在无无穷穷大大的的定定义义中中,把把换换成成或或则则有有0()lim()()xxxf x

4、 负负无无穷穷大大或或7注注:(1)1)无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;(2)(2)无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量但是无界变量 未必是无穷大未必是无穷大.11,0,sin,xyxx 当当时时是是一一个个无无 例例如如界界变变量量 .但但不不是是无无穷穷大大8三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系,1(1)(),;()1(2)(),()0,2)(f xf xf xf xf x 在在自自变变量量的的同同一一变变化化过过程程中中如如果果为为无无穷穷大大 则则为为 无无穷穷小小如如果果为为无无穷穷小小 且且则则为为无无 定定理理穷穷大大.意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论都可归结为关于无穷小的讨论.92110sinxxx 当当时时，变变量量思思考考题题 是是A）无穷小；）无穷小；B）无穷大；）无穷大；C）有界但不是无穷小；）有界但不是无穷小；D）无界但不是无穷大）无界但不是无穷大.nxxn210 的的子子序序列列解解：取取02sin)2()(2 nnxfn则则2210 nyxn的的子子序序列列再再取取 22)22)22sin()22()(nnnyfn（则则 选选D.不是无穷大不是无穷大无界无界