高斯定理及其应用.ppt

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1、大学物理电子教案大学物理电子教案 (电学电学2)点电荷系的电场点电荷系的电场回顾：上次课的有关内容回顾：上次课的有关内容02 EpErrq4120 0FEq 点电荷的电场点电荷的电场无限长均匀带电细线的电场无限长均匀带电细线的电场无限大均匀带电平面的电场无限大均匀带电平面的电场iiiiniiprrqEE 41201 EEpdrrqq 4d20 rrE20 电场强度电场强度E连续带电体的电场连续带电体的电场 61 电荷和库仑定律电荷和库仑定律 62 静电场静电场 电场强度电场强度 63 静电场的高斯定理静电场的高斯定理 64 电荷在电场中所受的力电荷在电场中所受的力 65 静电场的环路定理静电场

2、的环路定理 66 电势差和电势电势差和电势 67 电场强度与电势梯度的关系电场强度与电势梯度的关系 68 静电场中的导体静电场中的导体 69 静电场中的电介质静电场中的电介质 610 静电场的能量静电场的能量第第6 6章章 静电场静电场静电场的形象描述静电场的形象描述电场线上每点切线的方向表示该点场强的方向电场线上每点切线的方向表示该点场强的方向+qq一系列曲线一系列曲线1.电场线（电场线（E线）线）63 静电场的高斯定理静电场的高斯定理规定：规定：=E的大小的大小ddNES 即即：（也称电场线密度）（也称电场线密度）（1）起于正电荷止于负电荷，有头有尾，不）起于正电荷止于负电荷，有头有尾，不

3、 会在无电荷处中断。会在无电荷处中断。电场线的特征：电场线的特征：（2）在没有电荷的空间里，任何两条电场线）在没有电荷的空间里，任何两条电场线 不会相交。不会相交。EdS E电场中任意一点处，通过该处垂电场中任意一点处，通过该处垂直于直于 的单位面积上电场线根数的单位面积上电场线根数（3）电场线不会形成闭合曲线。）电场线不会形成闭合曲线。2.电通量电通量E 定义定义：通过电场中任一给定面的电场线总根数，：通过电场中任一给定面的电场线总根数，就是该面的电通量就是该面的电通量 E。（1）E为均匀场为均匀场1o 设场中有一平面设场中有一平面S，该面的电通量：该面的电通量：E=S E2o:角角成成与与

4、若若 En E=SEcos SSn o90 0E o90 0E ：或或其其面面法法线线EnES|ES （2）E 为非均匀场为非均匀场曲面曲面S上上,各点的各点的 E 大小方向均不同大小方向均不同取面积元取面积元dS，其上的电通量：，其上的电通量：dd cosEE S dES S面上的总通量：面上的总通量：ddEESES 当当S为闭合曲面时：为闭合曲面时：0E 对闭合面的法线方向规定：对闭合面的法线方向规定：自内向外为法线的自内向外为法线的正正方向方向 E 线从曲面内向外穿出线从曲面内向外穿出0E 而从曲面外向内穿进而从曲面外向内穿进0E E的单位：的单位：C/mN2 dSn S0E dESES

5、 表示净穿出表示净穿出(入入)闭合面的电场线的总根数闭合面的电场线的总根数2 引入电场线引入电场线,只是为了形象理解电场只是为了形象理解电场E，实际上实际上 E 是连续分布于空间。是连续分布于空间。注意注意1dSn S0E 0E有净电场线从曲面内向外穿出有净电场线从曲面内向外穿出0E 有净电场线从曲面外向内穿入有净电场线从曲面外向内穿入0EdESES 3.真空中静电场的高斯定理真空中静电场的高斯定理静电场的基本规律之一静电场的基本规律之一（1）高斯定理）高斯定理通过任意闭合通过任意闭合曲面曲面S的电通量的电通量 S面包围的面包围的电荷的代数和电荷的代数和即：即：内内d01EiSSESq 静电场

6、中，通过任意闭合曲面静电场中，通过任意闭合曲面 S（常称为高斯面）（常称为高斯面）的电通量的电通量 ，等于，等于面内面内所包围的所有电荷电量代所包围的所有电荷电量代数和的数和的 倍。倍。E01 证明：证明：设真空中有一点电荷设真空中有一点电荷q，在在q 的电场中，的电场中，(1)取以取以q为中心为中心r为半径的球面为半径的球面S该该S上的电通量为：上的电通量为：24oqSr|ren24 roq 1oSq qE 24roqEer r S内内d204rSqeSr d204SqSr 内内d01EiSSESq dESES dESES (2)设想任意闭合面设想任意闭合面S，且，且S 与与S包围同包围同

7、一个点电荷一个点电荷q，由电场线的连续性可知：由电场线的连续性可知：01Sq 看出看出 电通量电通量与球面半径、与球面半径、闭合曲面形状无关。闭合曲面形状无关。证明：证明：|renqE r Sr qES S内内设真空中有一点电荷设真空中有一点电荷q，在在q 的电场中，的电场中，dSES dSES 内内d01EiSSESq (3)若球面若球面S 或任意曲面或任意曲面S 不包围电荷不包围电荷qqS S=0即即:曲面外的电荷对曲面的电通量无贡献曲面外的电荷对曲面的电通量无贡献穿入的穿入的电场线电场线穿出的穿出的电场线电场线设真空中有一点电荷设真空中有一点电荷q，在在q 的电场中，的电场中，证明：证明

8、：dSES dESES 内内d01EiSSESq (4)若在同一空间有若在同一空间有q1、q2 qn电荷系电荷系2q1qnq任意点的电场强度为任意点的电场强度为:12nEEEE取任意闭合面取任意闭合面S，S其电通量为其电通量为:12n 由单个点电荷的结论由单个点电荷的结论qi在在S内内iioq qj不在不在S内内0j 1ioSq 定理得证！定理得证！证明：证明：内内d12(.)nSEEES ddd12.nSSSESESES内内d01EiSSESq dESES 2 封闭面封闭面S 上的场强上的场强E是由是由S内的电荷产生，而内的电荷产生，而 与与S外的电荷无关吗？外的电荷无关吗？1 E只决定于只

9、决定于S面包围的电荷，面包围的电荷，S面外的电荷对面外的电荷对 E无贡献。无贡献。3 若若S内的电荷是连续分布内的电荷是连续分布E 是由是由全部电荷全部电荷共同产生的合场强共同产生的合场强qi 移动，移动，E、变否？变否？E 注意注意d1VoV 曲面曲面S内内带电体的体积带电体的体积dESES 内内d01EiSSESq （2）高斯定理的意义）高斯定理的意义说明静电场是有源场说明静电场是有源场qq0d ssE0d ssEq 0，q R 时时：（2）r R 时：时：204rqE 方向：沿半径向外方向：沿半径向外204rqE 0 ERr 球外球外Rr 球内球内（与点电荷场相同）（与点电荷场相同）r=

10、R 时的突变时的突变沿沿 方向方向Er10 若是均匀带电球面，场强分布如何？若是均匀带电球面，场强分布如何？RqrrrER2040RqE 举一反三：举一反三：注意注意例例8.均匀带电球面，求轴上均匀带电球面，求轴上 =？E关键：圆环宽度关键：圆环宽度ddRl 圆环电量圆环电量dsin2d2dRRlrq dR r ddlE回顾回顾E内内=0E外外=20244dR 202dR 20 若带电球体电荷分布不均匀，但仍具有球对称性，若带电球体电荷分布不均匀，但仍具有球对称性，即即 =（r），），场强分布又如何？场强分布又如何？Rr Rr 24 rE01 20d4)(rrrr 24 rE01 2d4)(r

11、rr R,r,drrr提示：提示：iqrE0214?2d4)(rrr iq 0rR0d q0例例10.无限长直导线均匀带电，电荷线密度为无限长直导线均匀带电，电荷线密度为，求场强？求场强？解：解：分析：场具有柱对称性分析：场具有柱对称性沿沿 方向。方向。Er同一半径同一半径 的柱面上的柱面上 大小相等。大小相等。rE过场点作闭合柱面为高斯面过场点作闭合柱面为高斯面Erl根据高斯定理根据高斯定理 isqsE01d l 010lrl2E r2E0 沿沿 方向方向Er 上上下下面面侧侧面面sEsEd cosd cos10rE02 10 两平行输电线的场强？两平行输电线的场强？20 电缆的场？电缆的场

12、？无限长带电圆柱面的场？无限长带电圆柱面的场？ar 0 Ebrar2E0 br 0 E ErErE abrEr30 无限长带电圆柱体的场？无限长带电圆柱体的场？ERr :ERr :R 举一反三：举一反三：r2E0 rR022)221(002rrR 02 r例例11.无限大无限大薄薄平板均匀带电，面电荷密度平板均匀带电，面电荷密度+，求场强，求场强?解：解：场平面对称场平面对称过场点作闭合柱面为高斯面过场点作闭合柱面为高斯面E平板平板与板等距离平面上与板等距离平面上E 相等相等 isqsE01d 02 E isssqsEsEsE03211ddd321 2211SESE S 010方向：垂直于方向

13、：垂直于 S 向外。向外。2E1E1s2ss3s02 E02 E例例12.无限大平板厚度为无限大平板厚度为 d，电荷体密度为，电荷体密度为 ，场强如何，场强如何分布？分布？解：解：场平面对称场平面对称2dx 2dx xSES2120 0 xExdSES 01202 dE均匀场均匀场板内板内板外板外分别在板内、外作高斯面如图：分别在板内、外作高斯面如图：d EExxoE例例13.真空中有一均匀带电球体，电荷体密度为真空中有一均匀带电球体，电荷体密度为0，今在其中挖出一，今在其中挖出一球形空腔，已知球体中心到空腔中球形空腔，已知球体中心到空腔中心的矢径为心的矢径为 试证空腔内为均匀电场。试证空腔内

14、为均匀电场。a1o2oa1r2rp证明：证明：p 点的场强为点的场强为21EEE :1E完整的完整的带带“+”的大球在的大球在 p 处的场。处的场。:2E完整的完整的带带“-”的小球在的小球在 p 处的场。处的场。3102113414rrE1013rE 1013rE 同理：同理：2023rE )(3332100201rrrrE a03 证毕。证毕。（用补偿法）（用补偿法）1o2oaE 若无限长带电圆柱面上缺了一长条，若无限长带电圆柱面上缺了一长条，如何求轴线上一点的场强？如何求轴线上一点的场强？显然，空腔中的场是均匀的。显然，空腔中的场是均匀的。举一反三：举一反三：高斯定理解题步骤：高斯定理解

15、题步骤：（1）分析电场是否具有对称性）分析电场是否具有对称性;（2）取合适的高斯面）取合适的高斯面(封闭面封闭面),要取在要取在E相等的曲面上相等的曲面上;（3）E相等的面不构成闭合面时，相等的面不构成闭合面时，另选法线另选法线 的面的面;n E （4）分别求出）分别求出 和和 ，从而求得从而求得E。01EiSq 内内dESES 立体角的概念立体角的概念定义：线段元定义：线段元 dl 对某点所张的平面角对某点所张的平面角rdl d0dl0r 00rldd rl0d cosrld 立体角立体角 面元面元dS dS 对某点所张的立体角对某点所张的立体角 dr0rSd0Sd 200rSdd 20rS

16、d cos2rSd 1r1Sd闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角l0l0r l d cos lrl d 000lrl d 2 闭合曲面对面内一点所张的立体角闭合曲面对面内一点所张的立体角 S d SrS200d 4 球面度球面度rad如何理解面内场强为如何理解面内场强为0?0?过过P P点作圆锥点作圆锥在球面上截出两电荷元在球面上截出两电荷元2211SqSqdddd 210114rSE dd 220224rSE dd P1dq2dqdq1 在在P P点场强点场强dq2 在在P P点场强点场强 d04 d04 21EEdd 球面度球面度（steradian，符号，符号 sr）是）是 立体角立体角 的的 国际单位国际单位。它可算是三维的它可算是三维的 弧度弧度。其英文字是希腊语立体。其英文字是希腊语立体（stereos）和弧度（）和弧度（radian）的混合。）的混合。1dS2dS