计算机控制技术第2章Z变换及Z传递函数.ppt

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1、第2章 Z变换及Z传递函数第第2章章 Z变换及变换及Z传递函数传递函数 第2章 Z变换及Z传递函数2.1 Z变换定义与常用函数变换定义与常用函数Z变换变换 2.1.1 Z变换的定义变换的定义 已知连续信号已知连续信号f(t)经过来样周期为经过来样周期为T的采样开关后，的采样开关后，变成离散的脉冲序列函数变成离散的脉冲序列函数f*(t)即采样信号。即采样信号。对上式进行拉氏变换，则对上式进行拉氏变换，则 0*)()()(kkTtkTftf第2章 Z变换及Z传递函数对上式进行拉氏变换，则对上式进行拉氏变换，则根据广义脉冲函数的性质，可得：根据广义脉冲函数的性质，可得：00*)()()()()()(

2、)(ktTstTsktTsdekTtkTfdekTtkTfdetftfLsF0*)()(kkTsekTfsF第2章 Z变换及Z传递函数上式中，上式中，F*(s)是离散时间函数是离散时间函数f*(t)的拉氏变换，因复变的拉氏变换，因复变量量s含在指数含在指数e-kTs中是超越函数不便于计算，故引一个新中是超越函数不便于计算，故引一个新变量变量z=eTs，设设 并将并将F*(s)记为记为F(z)则则 式中式中F(z)就称为离散函数就称为离散函数f*(t)的的Z变换。变换。0)()(kkzkTfzF第2章 Z变换及Z传递函数 在在Z变换的过程中，由于仅仅考虑的是变换的过程中，由于仅仅考虑的是f(t)

3、在采样瞬在采样瞬间的状态，所以上式只能表征连续时间函数间的状态，所以上式只能表征连续时间函数f(t)在采样时在采样时刻上的特性，而不能反映两个采样时刻之间的特性，从刻上的特性，而不能反映两个采样时刻之间的特性，从这个意义上来说，连续时间函数这个意义上来说，连续时间函数f(t)与相应的离散时间函与相应的离散时间函数数f*(t)具有相同的具有相同的Z变换。即变换。即*0()()()()kkF zf tftf kT zZ ZZ Z第2章 Z变换及Z传递函数求取离散时间函数的求取离散时间函数的Z变换有多种方法，常用的有两种。变换有多种方法，常用的有两种。1级数求和法级数求和法 将离散时间函数写成展开式

4、的形式将离散时间函数写成展开式的形式 对上式取拉氏变换，得对上式取拉氏变换，得)()()2()2()()()()0()()()(0*kTtkTfTtTfTtTftfkTtkTftfkkzkTfzTfzTffsFzF)()2()()0()()(21*第2章 Z变换及Z传递函数例例2.1 求求f(t)=af(t)=at/T t/T 函数（函数（a为常数）的为常数）的Z变换。变换。解：根据解：根据Z变换定义有变换定义有 azazzazzazaazzkTfzFkkkk12210111)()(第2章 Z变换及Z传递函数2部分分式法部分分式法 设连续时间函数的拉氏变换为有理函数，将展开成设连续时间函数的拉

5、氏变换为有理函数，将展开成部分分式的形式为部分分式的形式为 因此，连续函数的因此，连续函数的Z变换可以由有理函数求出变换可以由有理函数求出niiissasF1)(nitsiiezzazF1)(第2章 Z变换及Z传递函数例例2.2 已知已知 （a为常数）为常数）求求F(Z)F(Z)解：将解：将F(s)F(s)写成部分分式之和的形式写成部分分式之和的形式)()(assasFassassasF11)()(assaa2121011aTaTaTaTezezzeezzzzzF)1()1(1)(2第2章 Z变换及Z传递函数2.1.2 常用信号的常用信号的Z变换变换 1单位脉冲信号单位脉冲信号)()(ttf0

6、()()()1kkF ztkT zZ Z2单位阶跃信号单位阶跃信号)(1)(ttf0121()1()111(1)1kkFzkTzzzzzzz第2章 Z变换及Z传递函数3单位速度信号单位速度信号 ttf)(01232()(23)(1)(1)kkFzkT zTzzzT zzz第2章 Z变换及Z传递函数4指数信号指数信号 atetf)(01221()111kaTkkaTaTaTatF zezezezezzze 第2章 Z变换及Z传递函数5正弦信号正弦信号 ttfsin)(221sin()21()()2121212()1sin2cos1jtjtjtjtjtjtjTjTjTjTjTjTteejF zee

7、jeejzzjzezeeejzeezzTzzTZ ZZ ZZ Z第2章 Z变换及Z传递函数2.2 Z变换的性质和定理变换的性质和定理 1线性定理线性定理设设a,a1,a2为任意常数，连续时间函数为任意常数，连续时间函数f(t),f1(t),f2(t)的的Z变换分别为变换分别为F(z),F1(z),F2(z)、及，则有及，则有11221122()()()()()()af taF za fta fta Fza FzZ ZZ Z第2章 Z变换及Z传递函数2滞后定理滞后定理设连续时间函数在设连续时间函数在t0时，时，f(t)=0，且且f(t)的的Z变换为变换为F(z)，则有则有证明：证明：()()kf

8、 tkTzF zZ Z0(1)(2)12()()(0)()(2)(0)()(2)()nnkkkkkf tkTf nTkT zfzf T zfT zzff T zfT zzF zZ Z第2章 Z变换及Z传递函数3超前定理超前定理设连续时间函数设连续时间函数f(t)的的Z变换为变换为F(z)，则有则有证明：证明：10()()()kkkmmf tkTz F zf mT zZ Z012(1)(2)10010()()()(1)(2)()(1)(2)()()()()()nnkkkkkmm kkkmmmmkkk mmf tkTf nTkT zf kTfkT zfkT zzf kT zfkT zfkT zzf

9、 mT zzf mT zf mT zz F zf mT zZ Z第2章 Z变换及Z传递函数4初值定理初值定理设连续时间函数设连续时间函数f(t)的的Z变换为变换为F(z)，则有则有 证明：证明：所以所以(0)lim()zfF z120()()(0)()(2)kkF zf kT zff T zfT z)(lim)0(zFfz第2章 Z变换及Z传递函数5终值定理终值定理设连续时间函数设连续时间函数f(t)的的Z变换为变换为F(z)，则有则有证明：证明：)()1(lim)()1(lim)(111zFzzFzfzz)()()2()0()()()0()()()()()()(lim)()(lim)()1(

10、lim0000011111fTfTffTfTffTkTfkTfTkTfkTfzTkTfzkTfzFzzFzFzkkkkkkkzzz第2章 Z变换及Z传递函数6卷积和定理卷积和定理设连续时间函数设连续时间函数f(t)和和g(t)的的Z变换分别为变换分别为F(z)及及G(z)，若若定义定义则则00()()()()()*()kkiig iT f kTiTg kTiT f iTg kTf kT()*()()()g kTf kTG z F zZ Z第2章 Z变换及Z传递函数证明：证明：由于当由于当i k时时 0)(iTkTf0000()00()00()*()()()()()()()()()()()kkk

11、ikkik iikik iik iig kTf kTg iT f kTiT zg iT f kTiT zfki T zg iT zfki T zg iT zF z G z Z Z第2章 Z变换及Z传递函数7求和定理求和定理设连续时间函数设连续时间函数f(t)和和g(t)的的Z变换分别为变换分别为F(z)及及G(z)，若若有有则则 kiiTfkTg0)()(11)()(zzFzG第2章 Z变换及Z传递函数证明：证明：111001)()()()()()()()()()()()(zzFzGzFzGzzGkTfTkTgkTgjTfTkTgiTfkTgkjki第2章 Z变换及Z传递函数8 8位移定理位移

12、定理设设a为任意常数，连续时间函数为任意常数，连续时间函数f(t)的的Z变换为变换为F(z)，则有则有 证明：证明：()()ataTf t eF z e Z Z00()()()()()atakTkkaTkkaTf t ef kT ezf kTezF ze Z Z第2章 Z变换及Z传递函数9 9微分定理微分定理设连续时间函数设连续时间函数f(t)的的Z变换为变换为F(z)，则有则有 证明：证明：()()zd F ztf tTzd Z Z00100()()()1()()()()1()kkkkzzzkkkkd F zddf kT zf kTzdddf kTk zf kTkT zTztf tTz Z

13、Z第2章 Z变换及Z传递函数2.3 Z反变换反变换 所谓所谓Z反变换，是已知反变换，是已知Z变换表达式变换表达式F(z)，求相应离散求相应离散序列序列f(kT)或或f*(t)的过程，表示为的过程，表示为 Z反变换主要有三种方法，即长除法、部分分式法和反变换主要有三种方法，即长除法、部分分式法和留数计算法留数计算法 1()()f kTF z Z Z第2章 Z变换及Z传递函数1长除法长除法设设 用长除法展开得用长除法展开得：由由Z变换定义得：变换定义得：比较两式得：比较两式得：则：则：nnnmmmazazabzbzbzF110110)(kkzczcczF110)(kzkTfzTffzF)()()0

14、()(1,)(,)(,)0(10kckTfcTfcf)()2()()(210*kTtcTtcTtcctfk第2章 Z变换及Z传递函数2部分分式法部分分式法又称查表法又称查表法，设已知的设已知的Z变换函数变换函数F(z)无重极点，先求出无重极点，先求出F(z)的极点，再将的极点，再将F(z)展开成如下分式之和展开成如下分式之和 然后逐项查然后逐项查Z变换表，得到变换表，得到 则：则：niiizzzazF1)(1()1,2,iiia zfkTinzzZ Z01*)()()(kniikTtkTftf第2章 Z变换及Z传递函数3留数法留数法 设已知设已知Z变换函数变换函数F(z)，则可证明，则可证明，

15、F(z)的的Z反变换反变换f(kT)值，可由下式计算值，可由下式计算 根据柯西留数定理，上式可以表示为根据柯西留数定理，上式可以表示为 n表示极点个数，表示极点个数，pi表示第表示第i个极点。即个极点。即f(kT)等于等于F(z)zk-1的的全部极点的留数之和。全部极点的留数之和。11()()1()2kzcf kTF zF z zdj Z Z11()Res()inkzpif kTF z z第2章 Z变换及Z传递函数即：即：1111Res()lim()()()lim()()iiikkizpzpnkizpiF z zzp F z zf kTzp F z z第2章 Z变换及Z传递函数2.5 线性定常

16、离散系统的差分方程及其解线性定常离散系统的差分方程及其解 对于单输入、单输出的计算机控制系统，设在某一对于单输入、单输出的计算机控制系统，设在某一采样时刻的输出为采样时刻的输出为y(kT)，输入为输入为u(kT)，为了书写方便，为了书写方便，用用y(k)表示表示y(kT)，用用u(k)表示表示u(kT)。在某一采样时刻的输出值在某一采样时刻的输出值y(k)不但与该时刻的输入不但与该时刻的输入u(k)及该时刻以前的输入值及该时刻以前的输入值u(k-1)，u(k-2)，u(k-m)有关，且与该时刻以前的输出值有关，且与该时刻以前的输出值y(k-1)，y(k-2)，y(k-n)有关，即：有关，即：或或1201()(1)(2)()()(1)()nmy kay ka y ka y k nbu kbu kb u k m 0112()()(1)()(1)(2)()mny kbu kbu kb u k may ka y ka y k n 第2章 Z变换及Z传递函数 上式称为上式称为n阶线性定常离散系统的差分方程，其中阶线性定常离散系统的差分方程，其中ai、bi由系统结构参数决定，它是描述计算机控制系统