一元二次方程与二次函数.docx

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1、一元二次方程与二次函数以下是查字典数学网为您推荐的一元二次方程与二次函数，希望本篇文章对您学习有所帮助。一元二次方程与二次函数【例1】：关于的方程.求证：取任何实数时，方程总有实数根；假设二次函数的图象关于轴对称.求二次函数的解析式；一次函数，证明：在实数范围内，对于的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立；在条件下，假设二次函数的图象经过点，且在实数范围内，对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值，均成立，求二次函数的解析式.【思路分析】此题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比拟常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=O和Mo两种

2、情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0,然后求得解析式。第二问参加了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数恰好是抛物线的一条切线，只有一个公共点（1,0）。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。于是通过代点，将用只含a的表达式表示出来，再利用，构建两个不等式，最终分析出a为何值时不等式取等号，于是可以得出结果.【解析】解：（1）分两种情况：当时，原方程化为，解得，（不要遗漏）当，原方程有实数根.当时，原方程为关于的一元二次方程，原方程有两个实数根.（如果上面的方程不是完全平方式该怎样力

3、、？再来一次根的判定，让判别式小于O就可以了，不过中考如果不是压轴题根本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了）综上所述，取任何实数时，方程总有实数根.（2）关于的二次函数的图象关于轴对称，（关于Y轴对称的二次函数一次项系数一定为0）抛物线的解析式为.I,（判断大小直接做差）（当且仅当时，等号成立）.由知，当时，.、的图象都经过.（很重要，要对那个等号有敏锐的感觉）I对于的同一个值，的图象必经过.又I经过，.（巧妙的将表达式化成两点式，防止繁琐计算）设.Y对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值均成立，又根据、的图象可得，.(a时,顶点纵坐标就是函数的最小值)而只有，解得.抛物线的解析式为.【

4、例2】关于的一元二次方程.(1)当为何值时，方程有两个不相等的实数根；(2)点是抛物线上的点，求抛物线的解析式；(3)在的条件下，假设点与点关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点的直线，假设存在，请求出直线的解析式；假设不存在，请说明理由.【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求解析式，比拟简单。值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，那么需要设直线y=kx+b以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于X轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点，所以

5、需要分情况讨论，不要遗漏任何一种可能.【解析】：(1)由题意得解得解得当且时，方程有两个不相等的实数根.(2)由题意得解得(舍)(始终牢记二次项系数不为0)(3)抛物线的对称轴是由题意得(关于对称轴对称的点的性质要掌握)与抛物线有且只有一个交点(这种情况考试中容易遗漏)另设过点的直线()把代入，得，整理得有且只有一个交点，解得综上，与抛物线有且只有一个交点的直线的解析式有，【例3】P()和Q(l,)是抛物线上的两点.求的值；(2)判断关于的一元二次方程二O是否有实数根，假设有，求出它的实数根;假设没有，请说明理由；(3)将抛物线的图象向上平移(是正整数)个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最

6、小值.【思路分析】拿到题目，很多同学不假思索就直接开始代点，然后建立二元方程组，十分麻烦，计算量大，浪费时间并且可能出错。但是仔细看题，发现P,Q纵坐标是一样的，说明他们关于抛物线的对称轴对称。而抛物线只有一个未知系数，所以轻松写出对称轴求出b。第二问依然是判别式问题，比拟简单。第三问考平移，也是这类问题的一个热点，在其他区县的模拟题中也有类似的考察。考生一定要把握平移后解析式发生的变化，即左加右减(单独的X),上加下减(表达式整体)然后求出结果。【解析】(1)因为点P、Q在抛物线上且纵坐标相同，所以P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等.所以，抛物线对称轴，所以，.(2)由(1)可知

7、，关于的一元二次方程为=0.因为,=16-8=80.所以，方程有两个不同的实数根，分别是(3)由(1)可知，抛物线的图象向上平移(是正整数)个单位后的解析式为.假设使抛物线的图象与轴无交点，只需无实数解即可.由二二0,得又是正整数，所以得最小值为2.【例4】抛物线，其中是常数.(1)求抛物线的顶点坐标；(2)假设，且抛物线与轴交于整数点(坐标为整数的点)，求此抛物线的解析式.【思路分析】此题第一问较为简单，用直接求顶点的公式也可以算，但是如果巧妙的将a提出来，里面就是一个关于X的完全平方式,从而得到抛物线的顶点式，节省了时间.第二问那么需要把握抛物线与X轴交于整数点的判别式性质.这和一元二次方

8、程有整数根是一样的.尤其注意利用题中所给，合理变换以后代入判别式，求得整点的可能取值.(1)依题意，得，抛物线的顶点坐标为(2),.,抛物线与轴交于整数点，的根是整数.是整数.是整数.是整数的完全平方数.(很多考生想不到这种变化而导致后面无从下手)取1,4,当时，；当时，.的值为2或.抛物线的解析式为或.【例5】：关于的一元二次方程(为实数)(1)假设方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；(2)在(1)的条件下，求证：无论取何值，抛物线总过轴上的一个固定点；(3)假设是整数，且关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，把抛物线向右平移个单位长度，求平移后的解析式.【思路分析】此题第一问比拟简单

9、，直接判别式O就可以了，依然不能遗漏的是510。第二问那么是比拟常见的题型.一般来说求固定点既是求一个和未知系数无关的X,Y的取值.对于此题来说,直接将抛物线中的m提出,对其进行因式分解得到y=(mxrT)(x+D就可以看出当X=T时,Y=O,而这一点恰是抛物线横过的X轴上固定点.如果想不到因式分解，由于此题固定点的特殊性(在X轴上)，也可以直接用求根公式求出两个根,标准答案既是如此，但是有些麻烦，不如直接因式分解来得快.至于第三问，又是整数根问题+平移问题，因为第二问中已求出另一根,所以直接令其为整数即可，比拟简单.解：方程有两个不相等的实数根，的取值范围是且.(2)证明：令得.(这样做是因

10、为已经知道判别式是，计算量比拟小，如果根号内不是完全平方就需要注意了)抛物线与轴的交点坐标为，无论取何值，抛物线总过定点(3) V是整数只需是整数.V是整数，且，当时，抛物线为.把它的图象向右平移个单位长度，得到的抛物线解析式为【总结】中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容，但是考点无非也就是因式分解，判别式，对称轴，两根范围，平移以及直线与抛物线的交点问题。总体来说这类题目不难，但是需要计算认真，尤其是求根公式的应用一定要注意计算的准确性。这种题目大多包涵多个小问。第一问往往是考验判别式大于O,不要忘记二次项系数为O或者不为O的情况。第2,3问基于函数或者方程对其他知识点进行考察，考生

11、需要熟记对称轴，顶点坐标等多个公式的直接应用。至于根与系数的关系(韦达定理)近年来中考已经尽量防止提及，虽不提倡但是应用了也不会扣分，考生还是尽量掌握为好，在实际应用中能节省大量的时间。第二局部发散思考【思考1】关于的一元二次方程有实数根，为正整数.(1)求的值；(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；(3)在的条件下，将平移后的二次函数的图象在轴下方的局部沿轴翻折，图象的其余局部保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象答复：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围.【思路分析】去年中考原题，相信有些同学已经做过了.第一问自不

12、必说，判别式大于O加上k为正整数的条件求k很简单.第二问要分情况讨论当k取何值时方程有整数根，一个个代进去看就是了，平移倒是不难，向下平移就是整个表达式减去8.但是注意第三问，函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比拟容易在中考中出现的问题，一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化，哪些地方没有变.然后利用画图解决问题.【思考2：关于的一元二次方程(1)假设求证：方程有两个不相等的实数根；(2)假设12【思路分析】此题也是整根问题，但是不像上题，就三个值一个个试就可以试出来结果。此题给定一个比拟大的区间，所以就需要直接用求根公式来计算.利用区间去求根的判别式的区间，也对解不等式做出了

13、考察.【思考3：关于X的一元一次方程kx=x+2的根为正实数，二次函数y=ax2-bx+kc(CO)的图象与X轴一个交点的横坐标为1.(1)假设方程的根为正整数，求整数k的值；(2)求代数式的值；(3)求证：关于X的一元二次方程ax2-bx+c=0必有两个不相等的实数根.【思路分析】此题有一定难度，属于拉分题目。第一问还好，分类讨论K的取值即可。第二问那么需要将k用a,b表示出来，然后代入代数式进行转化.第三问那么比拟繁琐，需要利用题中一次方程的根为正实数这一条件所带来的不等式，去证明二次方程根的判别式大于0.但是实际的考试过程中，考生在化简判别式的过程中想不到利用条件去套未知条件，从而无从下

14、手导致失分.【思考4：关于的一元二次方程.(1)求证：不管取何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)假设方程的两个实数根满足，求的值.【思路分析】这一题第二问有些同学想到直接平方来去绝对值，然后用韦达定理进行求解，但是这样的话计算量就会非常大，所以此题绕过韦达定理，直接用根的判别式写出，发现都是关于m的一次表达式，做差之后会得到一个定值.于是问题轻松求解.这个题目告诉我们高级方法不一定简单，有的时候最笨的方法也是最好的方法.第三局部思考题解析【思考1解析】解：(1)由题意得，.,为正整数，(2)当时，方程有一个根为零；当时，方程无整数根；当时，方程有两个非零的整数根.综上所述，和不合题意，舍去

15、；符合题意.当时，二次函数为，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为.(3)设二次函数的图象与轴交于两点，那么，.依题意翻折后的图象如下图.当直线经过点时，可得；当直线经过点时，可得.由图象可知，符合题意的的取值范围为.【思考2解析】证明：方程有两个不相等的实数根。(2)I方程有两个整数根，必须使且Hl为整数.XV1259.m=24【思考3解析】解：由kx=x2,得(kT)x=2.依题意k-10.I方程的根为正整数，k为整数，k-l=l或k-l=2.kl=2,k2=3.解:依题意,二次函数y=ax2-bx+kc的图象经过点(1,0),0=a-b+kc,kc=b-a.(3)证明:方程的判别式为=(-b)2-4ac=b2-4ac.由a,得ac.(i)假设ac,那么-4ac0故二b2-4ac0.此时方程有两个不相等的实数根.（三）证法一：假设ac,由知a-b+kc=0,故b=a+kc.=b2-4ac=(a+kc)2-4ac=a2+2ka