离散完整ppt课件2.12.ppt

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1、1第第2章章 一阶逻辑一阶逻辑 2.1 一阶逻辑基本概念一阶逻辑基本概念2.2 一阶逻辑合式公式及解释一阶逻辑合式公式及解释2.3 一阶逻辑等值式一阶逻辑等值式 22.1 一阶逻辑基本概念一阶逻辑基本概念 个体词个体词 谓词谓词 量词量词 一阶逻辑中命题符号化一阶逻辑中命题符号化 3基本概念基本概念个体词、谓词、量词个体词、谓词、量词 个体词（个体）个体词（个体）:所研究对象中可以独立存在的具所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体体或抽象的客体 个体常项个体常项：具体的事物，用：具体的事物，用a,b,c表示表示 个体变项个体变项：抽象的事物，用：抽象的事物，用x,y,z表示表示 个体域个体

2、域:个体变项的取值范围个体变项的取值范围 有限个体域有限个体域，如，如a,b,c,1,2 无限个体域无限个体域，如，如N,Z,R,全总个体域全总个体域:宇宙间一切事物组成宇宙间一切事物组成 4基本概念基本概念(续续)谓词谓词:表示个体词性质或相互之间关系的词表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项谓词常项：F(a)：a是人是人 谓词变项谓词变项：F(x)：x具有性质具有性质F 一元谓词一元谓词:表示事物的性质表示事物的性质 多元谓词多元谓词(n元谓词元谓词,n 2):表示事物之间的关系表示事物之间的关系 如如 L(x,y)：x与与y有关系有关系L，L(x,y)：x y，0元谓词元谓词:不含个

3、体变项的谓词不含个体变项的谓词,即命题常项或命即命题常项或命题变项题变项 5基本概念基本概念(续续)量词量词:表示数量的词表示数量的词 全称量词全称量词:表示任意的表示任意的,所有的所有的,一切的等一切的等 如如 x 表示对个体域中所有的表示对个体域中所有的x 存在量词存在量词:表示存在表示存在,有的有的,至少有一个等至少有一个等 如如 x 表示在个体域中存在表示在个体域中存在x6一阶逻辑中命题符号化一阶逻辑中命题符号化 例例1 用用0元谓词将命题符号化元谓词将命题符号化 要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶 逻辑中符号化逻辑中符号化 (1)墨西

4、哥位于南美洲墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中在命题逻辑中,设设 p:墨西哥位于南美洲墨西哥位于南美洲 符号化为符号化为 p,这是真命题这是真命题 在一阶逻辑中在一阶逻辑中,设设a：墨西哥，：墨西哥，F(x)：x位于南美洲位于南美洲 符号化为符号化为F(a)7例例1(续续)2233)3()2(GF (2)是无理数仅当是无理数仅当 是有理数是有理数 在命题逻辑中在命题逻辑中,设设 p：是无理数，是无理数，q：是有理数是有理数.符号化为符号化为 p q,这是假命题这是假命题 在一阶逻辑中在一阶逻辑中,设设F(x):x是无理数是无理数,G(x):x是有理数是有理数 符号化为符号化为 (3)如果如果23，

5、则，则33，q：3y，G(x,y)：xy x(F(x)y(G(y)L(x,y)或或 x y(F(x)G(y)L(x,y)两者等值两者等值 (2)令令F(x):x是无理数是无理数,G(y):y是有理数是有理数,L(x,y)：xy x(F(x)y(G(y)L(x,y)或或 x y(F(x)G(y)L(x,y)两者等值两者等值10一阶逻辑中命题符号化一阶逻辑中命题符号化(续续)几点注意：几点注意：1 1元谓词与多元谓词的区分元谓词与多元谓词的区分 无特别要求，用全总个体域无特别要求，用全总个体域 量词顺序一般不能随便颠倒量词顺序一般不能随便颠倒 否定式的使用否定式的使用思考：思考：没有不呼吸的人没有

6、不呼吸的人 不是所有的人都喜欢吃糖不是所有的人都喜欢吃糖 不是所有的火车都比所有的汽车快不是所有的火车都比所有的汽车快以上命题应如何符号化？以上命题应如何符号化？112.2 一阶逻辑公式及解释一阶逻辑公式及解释字母表字母表合式公式合式公式(简称公式简称公式)个体变项的自由出现和约束出现个体变项的自由出现和约束出现解释解释永真式（逻辑有效式）永真式（逻辑有效式）矛盾式（永假式）矛盾式（永假式）可满足式可满足式 12字母表字母表 定义定义 字母表字母表包含下述符号：包含下述符号：(1)个体常项：个体常项：a,b,c,ai,bi,ci,i 1 (2)个体变项：个体变项：x,y,z,xi,yi,zi,

7、i 1 (3)函数符号：函数符号：f,g,h,fi,gi,hi,i 1 (4)谓词符号：谓词符号：F,G,H,Fi,Gi,Hi,i 1 (5)量词符号：量词符号：,(6)联结词符号：联结词符号：,(7)括号与逗号：括号与逗号：(,),，13项项 定义定义 项项的定义如下：的定义如下：(1)个体常项和个体变项是项个体常项和个体变项是项.(2)若若(x1,x2,xn)是任意的是任意的n元函数，元函数，t1,t2,tn是任意的是任意的n个项，则个项，则(t1,t2,tn)是项是项.(3)所有的项都是有限次使用所有的项都是有限次使用(1),(2)得到的得到的.个体常项、变项是项，由它们构成的个体常项、

8、变项是项，由它们构成的n元函数和复元函数和复合函数还是项合函数还是项14原子公式原子公式 定义定义 设设R(x1,x2,xn)是任意的是任意的n元谓词，元谓词，t1,t2,tn是任意的是任意的n个项，则称个项，则称R(t1,t2,tn)是是原子公式原子公式.原子公式是由项组成的原子公式是由项组成的n元谓词元谓词.例如，例如，F(x,y),F(f(x1,x2),g(x3,x4)等均为原子公式等均为原子公式 15合式公式合式公式 定义定义 合式公式合式公式（简称（简称公式公式）定义如下：）定义如下：(1)原子公式是合式公式原子公式是合式公式.(2)若若A是合式公式，则是合式公式，则(A)也是合式公

9、式也是合式公式 (3)若若A,B是合式公式，则是合式公式，则(A B),(A B),(AB),(AB)也是合式公式也是合式公式 (4)若若A是合式公式，则是合式公式，则 xA,xA也是合式公式也是合式公式 (5)只有有限次地应用只有有限次地应用(1)(4)形成的符号串是合形成的符号串是合 式公式式公式.请举出几个合式公式的例子请举出几个合式公式的例子.16个体变项的自由出现与约束出现个体变项的自由出现与约束出现 定义定义 在公式在公式 xA和和 xA中，称中，称x为为指导变元指导变元，A为相为相应量词的应量词的辖域辖域.在在 x和和 x的的辖域辖域中，中，x的所有出现都的所有出现都称为称为约束

10、出现约束出现，A中不是约束出现的其他变项均称中不是约束出现的其他变项均称为是为是自由出现的自由出现的.例如例如,在公式在公式 x(F(x,y)G(x,z)中中,A=(F(x,y)G(x,z)为为 x的辖域，的辖域，x为指导变元为指导变元,A中中x的两次出现均为约束出现，的两次出现均为约束出现，y与与z均为自由出现均为自由出现.闭式闭式:不含自由出现的个体变项的公式不含自由出现的个体变项的公式.17公式的解释与分类公式的解释与分类 给定公式给定公式 A=x(F(x)G(x)成真解释成真解释:个体域个体域N,F(x):x2,G(x):x1 代入得代入得A=x(x2x1)真命题真命题成假解释成假解释

11、:个体域个体域N,F(x):x1,G(x):x2 代入得代入得A=x(x1x2)假命题假命题问问:xF(x)x F(x)有成真解释吗？有成真解释吗？xF(x)x F(x)有成假解释吗？有成假解释吗？18解释解释 FafFa定义定义 解释解释I由下面由下面4部分组成：部分组成：(a)非空个体域非空个体域DI (b)DI中一些特定元素中一些特定元素 等等 (c)DI上一些特定函数上一些特定函数 等等 (d)DI上一些特定谓词上一些特定谓词 等等说明：说明：被解释的公式被解释的公式A中的个体变项均取值于中的个体变项均取值于DI 若若A中含个体常项中含个体常项a、函数函数f、谓词谓词F,就分别解释就分

12、别解释成成 、f19解释解释(续续)被解释的公式不一定全部包含解释中的被解释的公式不一定全部包含解释中的4部分部分.闭式在任何解释下都是命题，闭式在任何解释下都是命题，注意不是闭式的公式在某些解释下也可能是命注意不是闭式的公式在某些解释下也可能是命题题.20公式的分类公式的分类 永真式（逻辑有效式）永真式（逻辑有效式）：无成假赋值：无成假赋值矛盾式（永假式）矛盾式（永假式）：无成真赋值：无成真赋值可满足式可满足式：至少有一个成真赋值：至少有一个成真赋值几点说明：几点说明：永真式为可满足式，但反之不真永真式为可满足式，但反之不真谓词公式的可满足性（永真性谓词公式的可满足性（永真性,永假性永假性)

13、是不可判是不可判定的定的利用代换实例可判某些公式的类型利用代换实例可判某些公式的类型 21代换实例代换实例 定义定义 设设A0是含命题变项是含命题变项p1,p2,pn的命题公式，的命题公式，A1,A2,An是是n个谓词公式，用个谓词公式，用Ai处处代替处处代替A0中的中的pi (1 i n)，所得公式，所得公式A称为称为A0的的代换实例代换实例.例如例如:F(x)G(x),xF(x)yG(y)等都是等都是pq的换实例，的换实例，x(F(x)G(x)等不是等不是 pq 的代换实例的代换实例.定理定理 重言式的代换实例都是永真式，矛盾式的代重言式的代换实例都是永真式，矛盾式的代换实例都是矛盾式换实

14、例都是矛盾式.22代换实例代换实例(续续)例例1 1 给定解释给定解释I I 如下如下:(a)个体域个体域 D=N (b)(c)(d)谓词谓词说明下列公式在说明下列公式在 I 下的涵义下的涵义,并讨论真值并讨论真值 (1)xF(g(x,a),x)2 axyyxgyxyxf ),(,),(yxyxF:),(x(2x=x)假命题假命题(2)x y(F(f(x,a),y)F(f(y,a),x)x y(x+2=yy+2=x)假命题假命题23例例1(续续)(3)x y zF(f(x,y),z)两点说明两点说明:5个小题都是闭式个小题都是闭式,在在I下全是命题下全是命题(3)与与(5)说明，量词顺序不能随意改变说明，量词顺序不能随意改变(5)x y zF(f(y,z),x)x y z(y+z=x)假命题假命题(4)xF(f(x,x),g(x,x)x(2x=x2)真命题真命题 x y z(x+y=z)真命题真命题24代换实例代换实例(续续)例例2 证明下面公式既不是永真式，也不是矛盾式证明下面公式既不是永真式，也不是矛盾式 (1)x(F(x)G(x)(2)x(F(x)G(x)(3)x y(F(x)G(y)H(x,y)不难对每一个公式给出一个成假解释和一个成真不难对每一个公式给出一个成假解释和一个成真解释解释,从而证明它们既不是永真式，也不是矛盾从而证明它们既不是永真式，也不是矛盾式式.