最短路径问题专项练习题.docx

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1、B最短路径问题专项练习共13页，全面复习与联系最短路径问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；线段(之和)最短问题；二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。(构建“对称模型”实现转化)1.最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求.如图所示，点A,B分别是直线/异侧的两个点，在/上找一个点。，使CA+C6最短，这时点。是直线/与AB的交点.(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求.如图所示，点A,

2、8分别是直线/同侧的两个点，在上找一个点C,使CA+CB最短，这时为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在宜线上另外任取一点C,连接AU,BCf,B,C,证明AC+CBVAC+CA如下：证明：由作图可知，点8和关于直线/对称，所以直线/是线段88的垂直平分线.因为点。与U在直线/上，所以8C=8C,BC=BC：在aA8C1中，ABAC,+BC,所以AC+5C,分别交04,OB于P,Qy那么小明沿CfPfQf。的路线行走，所走的总路程最短.5 .运用轴对称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键.先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得

3、直线与对称轴的交点，即为所求.根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值.破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法.【例5】如图所示，A,8两点在直线/的两侧，在/上找一点G使点C到点A、B的距离之差最大.分析：此题的突破点是作点A（或8）关于直线/的对称点A（或8）,作直线AB（AB）与直线/交于点G把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决.解：如图所示，以直线/为对称轴，作点4关于直线/的对称点A,48的连线交/于点C,则点C即为所求.理由：在直线/上任找一点C（异于点。，连接CA,CfA,CfA,CB.因

4、为点A,A关于直线/对称，所以/为线段AA的垂直平分线，则有CA=CA,所以CA-CB=C,-CB=A8.又因为点C在/上，所以CA=C,A.在AABC中，CA-CfB=C,A,-CBAB,所以CA-CBCA-CB.点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.三、例题：例1、如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点B处，则它爬行的最短路径是o如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2,假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是OD.C0B例2、如图，要在河边修建一个水泵站，分别

5、向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。李庄张村.如图，直线L同侧有两点A、B,已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3,两点的水平距离为3,要在直线L上找一个点P,使PA+PB的和最小。请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为IKm和3Km,张村与李庄的水平距离为3Km,则所用水管最短长度张村.四、练习题（巩固提高）（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4,假设一只蚂蚁在点A处,它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是o2、现要在如图所示的圆柱体

6、侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm,底面圆周长为16cm,则所缠金丝带长度的最小值为C3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到食物，知圆柱体的高为5cm,底面圆的周长为24cm,则蚂蚁爬行的最短路径为。4、正方形ABCD的边长为8,M在DC上，且DM=2,N是AC上的一动点，DN+MN的最小值为O点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为o6、如图，在aABC中，AC=BC=2,ZACB=90o,D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值为。7、AB是。的直径，AB=2,OC是OO的半

7、径，OC_LAB,点D在A0上，A屋2C(f7点P是半径OC上的一个动点，则AP+PD的最小值为o(二)8、如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D,连接CD,交OA于M,交OB于N,若CD=I8cm,则APMN的周长为。9、已知，如图DE是AABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E,且AC=5,BC=8,则AAEC的周长为o10、已知，如图，在aABC中，ABAC,BC边上的垂直平分线DE交BC于点D,交AC于点E,AC=8,ZABE的周长为14,则AB的长。11、如图，在锐角AABC中，AB=42,ZBAG=45o,NBAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动

8、点，则BM+MN的最小值是.12、在平面直角坐标系中，有A(3,-2),B(4,2)两点，现另取一点C(1,n),当n=时，AC+BC的值最小.第11题第14题第15题13、AABC中，NC=90。，AB=10,AC=6,BC=8,过AB边上一点P作PE-LAC于E,PF_LBC于F,E、F是垂足，则EF的最小值等于.14、如图，菱形ABCD中，AB=2,NBAD=60,点E、F、P分别是AB、BC、AC上的动点，则PE+PF的最小值为.15、如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？16、一次函数

9、y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A(2,O),B(0,4).(1)求该函数的解析式；(2)0为坐标原点，设0A、AB的中点分别为C、D,P为OB上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标.(三)16、如图，已知NAOB内有一点P,试分别在边OA和OB上各找一点E、F,使得APEF的周长最小。试画出图形，并说明理由。/17、如图，直线I是第一、三象限的角平分线./实脸与探究：b(1)由图观察易知A(0,2)关于直线I的对称点A，的坐标为(2,0),请在图中分别标明B(5,3)、C(-2,5)关于直线I的对称点夕、C，的位置，并写出他们的坐标：B、C;归纳与发现：(2)结合以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线I的对称点，的坐标为;运用与拓广：(3)已知两点D(1,一3)、E(-1,-4),试在直线I上确定一点Q,使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标._一A18、几何模型：F条件：如图，A、B是直线L同旁的两个定点.问题：在直线L上确定一点P,使PA+PB的值最小.方法：作点4关于直线/的对称点A,连结43交/于点P,则RUPB=AB的值最小(不必证明).模型应用：(1)如图1,正方形ABC。的边长为2