大学概率论期末考试解答题答案.docx

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1、1、设两两相互独立的三事件A8,c满足条件：ABC=0.P（八）=P(B)=P(C),且9P(AoBuC)=-,求P（八）.解：P(AuBuC)=P（八）+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)o=3P（八）-3P2（八）=-,133那么P（八）=或一，其中P（八）=三舍去，因为尸（八）P(A8uC).4442、设事件A与5相互独立，两事件中只有A发生及只有5发生的概率都是试求P（八）及尸(8).4解：由条件知：P(AS)=P(X)=L那么4解得P（八）=P(B)=L3、甲、乙、丙三门炮向同一架飞机射击，设甲、乙、丙炮射中飞机的概率依次为0.4,0.5,0.7,又

2、设假设只有一门炮射中，飞机坠毁的概率为0.2,假设有两门炮射中，飞机坠毁的概率为0.6,假设三门炮同时射中，飞机必坠毁.试求飞机坠毁的概率？解：设A=甲炮射中飞机，4=乙炮射中飞机，A=丙炮射中飞机,用=一门炮射中飞机,员=两门炮射中飞机,员=三门炮射中飞机,C=飞机坠毁,那么由题意可知事件A,4,A3相互独立，故故由全概率公式可得：P(C)=P(CBuCB2uCB3)=P(CB,)+P(CB2)+P(CB3)=P(B,)P(CB1)+P(2)P(CB2)+P(B3)P(CB3)=0.360.2+0.410.6+0.14-1=0.4584、一批产品中96%是合格品，检查产品时，一合格品被误认为

3、是次品的概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05.求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率.解：设A=抽到的产品是合格品,=抽到的产品是次品,8=抽到的产品认为是合格品.那么由全概率公式可知：P(B)=P(ABuAB)=P(AB)+P(AB)=P（八）P(BA)+P（八）P(BA)=0.96-0.98+0.040.05=0.94281P(AB)P（八）P(司A)2352八八八故P(AiB)=IJI=0.99791P(B)P(B)23575、设袋中有10个球，其中3白7黑,随机任取3个，随机变量X表示取到的白球数,试求:(1)、随机变量X的分布律；(2)、数学期望E(X)o

4、解：(I)X的可能取值为0,1,2,3,C P(X =O) = = C13o724r2c1P(X=I) =等co21而P(X=3) =兽= cIO1T20C1C221P(X=2)=-=-。120X的分布律为X0123P7212112440120120(2)X的数学期望为6、没有6题号7、p26例8、设离散型随机变量X的分布列为X-2-10123P0.100.200.250.200.150.10求：(DK=-2X的分布列；(2)N=X?的分布歹I.解:(DY=-2X的分布律为X-6-4-2024P0.100.150.200.250.200.10(2)=X2的分布律为:X0149P0.250.40

5、0.250.109、设随机变量X的概率密度(2f0vx0y2解：Ay)=2)0,其它f2194七认尸6=310、设连续随机变量X分布函数为：/(X)=A+Barctanx试求：1)常数A、B；2)概率密度函数/(幻,3)P(-l-00.V-00.t-OX-OO解：D111ATrB=O,A+-rB=1解之得A=,B=2221 12)f(x)=F(x)=(A+5arctanx)i=(1x2)3) P(-1%1)=F(1)-F(-1)=0.511、设尸*=0=尸丫=0=n乂=1=。丫=1=5,两个随机变量X,Y是相互独立且同分布,求随机变量Zl=max(X,r),Z2=X+r的分布律.解：(1)4的

6、所有可能取值为0,1,且故Zl的分布律为：(2) Z2的所有可能取值为0,故Z2的分布律为：12、设(X,Y)的联合分布律为试求： EX, EY； (2) E(X-2Y)i-112E(XY); (4)方差 DX, DY解： (1)EX=I X 0.4+2 X10.20. 10. 120.30.20. 10.6=1.6E(K)=-10.5+10.3+20.2=0.2(2) E(X-27)=E(X)-2E(Y)=L2(3) E(XY)=-l*0.2+1*0.1+2*0.l+(-2)*0.3+2*0.2+4*0.1=0.3(4)D(x)=E(X2)-E(X)2=1*0,44*0.6-1.62=0.2

7、4D(y)=E(Y2)-E(Y)2=1*0.5+1*0.3+4*0.2-0.22=1.5613、玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率相应为0.8,0.1,0.1,一顾客欲购置一箱玻璃杯，在购置时售货员随意取一箱，而顾客开箱随机查看4只，假设无残次品，那么买下该箱玻璃杯，否那么退回.试求：(1)顾客买下该箱的概率；(2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率.解：令A表示顾客买下所查看的一箱玻璃杯，Bj表示箱中恰有i件残次品，i=0,l,2.由题意可得：(1)由全概率公式可知，顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为：(2)由贝叶斯公式知，在顾客买下的一箱中，确实没有残次品

8、的概率为：14、设有两箱同类零件，第一箱内装50件，其中10件是一等品；第二箱内装30件，其中18件是一等品.现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件(取出的零件均不放回)，试求(1)现取出的零件是一等品的概率；(2)在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率.解：(1)记4表示在第i次中取到一等品，i=l,2;。表示挑到第i箱.那么有P(A)=P(AIB1)XP(B1)+P(AlB2)XP(B2)(2)P(AiA2)=P(AiA2Bi)P(B1)+P(A1A21B2)P(B2)15、甲、乙两个独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2,乙的命中率为0.

9、5,以X和Y分别表示甲和乙的命中次数，试求X和y的联合概率分布.解：由题意知：X8(2)，(2,-).52因为X和y相互独立，那么从而随机变量X和Y的联合分布律为：O1216、设连续型随机变量X的分布函数为O4/252/251/100Ox-a18/254/251/50F(X)=ABarcsinx-axa,试24/252/251/1001xa求(1)常数A,3；(2)X的概率密度;解：(1)因尸(X)是连续函数，所以在点x = -,点连续，故VA+Barcsinj)=。解得A),工A+Barcsin()=12当x-a,x时，/(x)=F(X)=O1I,-QVX。故X的概率密度为：f(x)=lyi

10、-x20,其它17、设二维随机变量(x,y)的联合概率密度为求(1)4的值；(2)PXl,y2解：(1)J+J/(x，ydxdy=J；J；Aex+y)dxdy=A一”ey=A=I4分PX1,y2000=1-PX2000=1-Lmdx=-故pyi=-pyvi=-py=o=-cd)d)4=2216.7X019、设随机变量X的概率密度为/(X)=J廿、，求y=2的概率密度函数0,其匕解：y=2的分布函数4(y)为：F(y)=PYy=PX2y2分当y0时，K(y)=P2y=0,当y0时，F(y)=PX2故Y=2的概率密度函数为：f(y)=F(y)=i2yy0,y020、设随机变量K在(0,5)上服从均

11、匀分布，那么方程：4/+4代+K+2=0有实根的概率.解：依题意可知，KU(0,5),那么K的概率密度为:假设要使得方程4+4Kr+K+2=0有实根，那么有:A=(4K)2-4x4(K+2)0,即K2-K-20;解得K2或K-L故方程有实根的概率为：21、设随机变量X服从均匀分布UO,1,求y=-21nX的概率密度./r1解：y=的反函数为X=Iny,且一=,dyy(iI当Iny(0,1),即y(1,e)时,f(y)=fx(ny)|=-.dyy故Y=/的概率密度为：f(y)=y.0,其他22、设随机变量X的概率密度为力。)=5-,(-8x8),求随机变量Y=I的概率密度乃(1+X)(y)解：函

12、数)，=1-板严格单调，反函数为x=z(y)=(l-y)3,那么23、设随机变量(x,y)的联合概率密度函数为/(,y)=O其他试求(DX和y的边缘密度函数;Pxo.5,ri解：(D当0xl时，在其他情况下，fx(x)=f(x,y)dy=O.J-X从而X的边缘密度函数为：当y0时，在其他情况下，加y)=J1(x,y心=0.从而y的边缘密度函数为:PX0.5,Y=晨/(演ylxdy=f6xe-3ydxdy=|/2、24、设二维连续型随机变量(x,y)的概率密度为f(9 y) =ke-(3x+4y0X O, y O其它(1)确定常数左:(2)讨论x,y的独立性.为1=工/(MXdy=%小+”力=A氏=12.因为 A (X) = 7(x, y)dy =12L(3+4%dy,0,x0 其它3e3x x00, 其它同理可得 4(y) = 4e4x y00, 其它/ = 0,1,2,3.XO123P2712554T2536T258125从而X的分布律为:随机变量X表示取到的黑球数,试求：(1)随机变量X的分布律;(2)数学期望E(X)。显然对任意的x,yR,恒有Fay)=以人。)，故随机变量X