如何判断矩阵的等价-相似-合同？.docx

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1、如何矩阵的等价,相似,合同?(1) 4与8等价：4可以经一系列初等变换得BoPAQ=BOr（八）=r(B)(A,6同型，只。可逆.)判断等价只需同型且秩相等.(2) A与8相似：P1AP=B9P可逆.相似有四个必要条件:秩相同,特征值相同,特征多项式相同,行列式相同，如何判断两个一般的矩阵是否相似，考研大纲并不要求，但是如果AB相似于相同的对角阵，那么由相似关系有传递性知4,B相似.A与8合同(仅限于对称矩阵)：CTAC=B(C可逆)OA与8的正负惯性指数相同.判断合同前提都是实对称矩阵，然后判断正负特征值的个数是否完全相同，也即正负惯性指数相同即可.注：AB合同、A,8等价等价但不相似1(A

2、B相似、4,3等价,例A=,B=Xll-在A,8实对称的前提下，A,3相似、A,6合同.0 0、1 11 b【解】先看等价：r（八）=1,r(B)=2,r(Q=1,r(D)=1,故Aeo等价.再看相似:A)=r(O=D)=I,=5)=2,排除8,考虑AC,D,A看的特征值为1,0,0,。的特征值为2,0,0,从而排除。仅仅考虑AC,A的特征值为1,0,0,且二重特征值0对应两个线性无关100、的特征向量，A相似于对角阵C=000,从而AC相似.W00,最后看合同：合同仅限对称阵，仅仅考虑C,。，。的特征值为1,0,0,。的特征值为2,0,0,C的正惯性指数为1,负惯性指数为0,。的正惯性指数也为1,负惯性指数为0,Co合同.1In(300、【例2】判断A=111,=000是否等价，相似,合同,？1000,【解】r（八）=z(B)=l,二者等价;3OA为对称阵一定相似于对角阵B=OOO；从而A一定合同于对角阵B、0OOJ