小学奥数计数问题第二讲.docx

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1、以是同种情况.与是同种情况.va3av囚旦LgBjAl ,其中A有3种颜色可选,B也有3种颜色计数问题第二讲内容概述利用对应法求解的计数问题.所谓对应法,即建立起所考察对象和另类对象之间的对应关系,通过对后者的计数而求得问题的答案.与平面和立体图形相关的复杂计数问题，其他具有相当难度的计数综合题.典型问题2.小明有10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法？分析与解我们将10块大白兔奶糖从左至右排成一列，如果在其中9个间隙中的某个位置插入“木棍，那么将10块糖分成了两局部.我们记从左至右,第1局部是第1天吃的,第2局部是第2天吃的,，如：Oc)C)ICOOOOOO

2、表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒：OOOOOOOOOO表示第一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒.不难知晓,每一种插入方法对应一种吃法,而9个间隙,每个间隙可以插人也可以不插入,且相互独立，故共有29=512种不同的插入方法,即512种不同的吃法.4.在8X8的方格表中,取出一个如图33-1所示的由3个小方格组成的“L”形,一共有多少种不同的方法？【分析与解】观察发现,对于每个“L形,都有一个点M与其对应,而每个2X2的方格中,U点都对应4个不同的L”.在8X8的方格中,类似M点的交叉点有7X7=49个(不包括边上的交叉点).所以共有“L”道，当直接去求一个集合元素的个数

3、较为么，把问题转化成求另一个集合的元素个根划分成相同的5节,每节用红、黄、蓝【分析与解】如图区|BlClDlEl每根原棒的5节记为A、B、C、D、E,特别得注意到原棒可左右倒置，即旧Q8V,有可能与不难得知，当原棒上的5节对称时,即IAlBICIBA可选,C还是有3种颜色可选，故有3X3X3=27种不同的染法.考虑不对称时XBCDf那么A有3种原色可选，B、C、D、E也各有3种颜色可选,于是有33333=243种不同的染法.ABCBA重复计了，而对称的 所以，共所以，其中不对称有243-27=216种，不对称的3QD8Vl与没有重复计算.有2162+27=135种实质不同的着色方式.8.如图3

4、3-3,八面体有12条棱,6个顶点.一只蚂蚁从顶点A出发,沿棱爬行,要求恰好经过每个顶点一次.问共有多少种不同的走法？【分析与解】AB,AD,AE,AF,这4类走法,每类走法的种数一样多，所以只用考察AB的后续步骤有多少种：BECDF,BECFD,BEDFC,BEDCF,BFDECBFDCE,BFCED,BFCDE,BCEDF,BCFDE（从BC后三步只能是顺时针或逆时针，只用2种）.共10种.所以从A点出发共有104M0种不同的满足题中条件的走法10.某玩具厂生产大小一样的正方体形状的积木,每个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色中的一种,每色各涂两个面.当两个积木经过适当的翻动以后，能使各种颜色的

5、面所在位置相同时,它们就被看作是同一种积木块.试说明:最多能涂成多少种不同的积木块？【分析与解】总可以使下底面为红色.如果上底面也是红色,通过翻过,可以使前面为黄色,左面不是黄色,这时后面可以是黄色,也可以是蓝色,有2种.如果上底面不是红色,通过旋转,可以使后面为红色.这时又分两种情况：(1)前面与上面同色,可以同为黄色,也可以同为蓝色,有2种.(2)前面与上面不同色,通过翻动,可以使上面为黄色,前面为蓝色这时右面可以是黄色,也可以是蓝色,有2种.因此,共可涂成2+2+2=6种不同的积木块.12.有8个队参加比赛,采用如图33-4所示的淘汰制方式.问在比赛前抽签时,可以得到多少种实质不同的比赛

6、安排表？*【分析与解】我们标LtJLpLrJLTJ上字母,如下列图.如果全排列为P；=8!因为匚I1A,B；B,A实质赛程一样：同理图33-4CD,EF,GH,IJ,KL,M/N均是,所以除以7个2.于是,共有8!2=315种实质不同的赛程安排.14.游乐四的门票1元1张,每人限购1张.现在有10个小朋友排队购票,其中5个小朋友只有1元的钞票,另外5个小朋友只有2元的钞票,售票员没有准备零钱.问有多少种排队方法,使售票员总能找得开零钱？【分析与解】方法一:按第一个带2元钞票的小朋友前面有几个小朋友来确定排队的方案,共有五个方案：带1元的5个小朋友都排在前边，即1111122222,只有1种情况

7、；带1元的小朋友有4个排在前面,即1111212222,1111221222,1111222122,1111222212,共有4种情况；带1元的小朋友有3个排在前边,如1112112222,，共有9种情况;带1元的小朋友有2个排在前边,如1121112222,，共有14种情况；带1元的小朋友只有1个排在前边,如1211112222,，共有14种情况.五个方案共有1+4+9+14+14=42(种)情况.因为10个小朋友互不相同，所以每种情况有5!X5!=14400(种)排队方法,总共有42X14400=604800种排队方法,使售票员总能找得开零钱.方法二:如下左图，先将拿1元的小朋友看成相同的,2元的小朋友看成相同的.在下列图中,每条小横线代表拿1元的小朋友,每条小竖线代表拿2元的小朋友.从A到B的不管在网格中的何点均有横线数不小于竖线数.相当于求A到B的走法：我们再由上右图知：从AB的走法有42种.因为各个小朋友都是不同的，所以共有42X5!5!=42120120=604800种情况.评注：游乐园的门票1元1张,每人限购1张.现在有10个小朋友排队购票，其中n个小朋友只有1元的钞票，另外n个小朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱.那么有啰竺种排队方法,使售票员5+1)!总能找得开零钱.