学案直线的交点坐标与距离公式.docx

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1、直线的交点坐标与距离公式2.3.1两条直线的交点坐标【学习目标】1 .会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。2 .会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系。【学习重难点】重点：能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。难点：会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系。【知识梳理】一、自主导学两条直线的交点1.己知两条直线的方程是jxBy+C=O,Ax+B2y+C2=0f设这两条直线的交点为P,则点P既在直线1上,也在直线4上。所以点P的坐标既满足直线4的方程Ax+qy+q=0,也满足直线I2的方程A+B2y+C=0,2.即点尸的坐标就是方程组Lfcx+By+C12=0的解。方程组的解一组无

2、数组无解直线h和12公共点的个数一个无数个零个直线h和12的位置关系相交重合平行点睛：如果两条直线相交，则交点坐标分别适合两条直线的方程，即交点坐标是两直线方程所组成方程组的解。二、小试牛刀1.直线x+y=5与直线x-y=3交点坐标是()A.(1,2)B.(4,1)C.(3,2)D.(2,1)【学习过程】一、问题导学在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点直线相关的距离问题等。二、典例解

3、析例1.直线/过直线x+y-2=0和直线x-y+4=0的交点,且与直线3-2y+4=0平行，求直线/的方程。求过两直线交点的直线方程的方法(1)解本题有两种方法：一是采用常规方法，先通过解方程组求出两直线交点，再根据平行关系求出斜率，由点斜式写出直线方程；二是设出过两直线交点的方程，再根据平行条件待定系数求解。(2)过两条相交直线kix+By+C=O,/2：A2x+82y+C2=O交点的直线方程可设为4x+8iy+Cl+2(A2x+82y+C2)=O(不含直线/2)。跟踪训练1三条直线6+2y+7=0,4x+y=14和2-3y=14相交于一点，求。的值。例2.分别判断下列直线是否相交，若相交，

4、求出它们的交点。(1) :2x-y=7/9:3+2y-7=0;(2) /1:2x-6y+4=0和令4x-12y+8=0;(3) j：4x+2y+4=0和4：y=-2x+3.跟踪训练2已知直线5x4y=2fl+l与直线2x+3y=的交点位于第四象限，则a的取值范围是。例3(1)求经过点P(1,0)和两直线*x+2y-2=0,Q3x-2y+2=0交点的直线方程；(2)无论实数。取何值，方程(-l)x-y+2-l=0表示的直线恒过定点，试求该定点。利用直线系方程求直线的方程经过两直线xy+C=O,2:A/+y+q=。交点的直线方程可写为AX+4y+q+l(A1+纥y+C)=0(它不能表示直线/)。反

5、之，当直线的方程写为AX+8y+C+2(Ax+纥y+C)=0时，直线一定过直线4：4x+By+C=0与直线4：4/+约,+。2=0的交点。跟踪训练3已知直线/经过原点，且经过另两条直线2x+3y+8=0,x-l=O的交点，则直线I的方程为()A.2x+y=0B.2x-y=0C.x+2y=0D.x-2y=0例4光线通过点A(2,3)在直线/：x+y+l=O上反射，反射光线经过点B(1,1),试求入射光线和反射光线所在直线的方程。点关于直线的对称点的求法(4+C=O,点P(X,y)关于直线Ax+3y+C=0的对称点PO(Xo,yo),满足关系Jy_y0之(x-XoA解方程组可得点尸0的坐标。跟踪训

6、练4直线y=2x是aABC的一个内角平分线所在的直线，若43两点的坐标分别为A(-4,2),B(3,1),求点。的坐标。金题典例过点P(3,0)作一直线分别交直线2x-y-2=0和x+y+3=0于点A,B,且点P恰好为线段AB的中点，求此直线的方程。【达标检测】1 .直线2x+y+8=0和直线x+y-l=0的交点坐标是()A.(-9,-10)B.(-9,10)C.(9,10)D.(9,-10)2.直线2x+3)=0和直线xy+12=0的交点在X轴上，则&的值为()A.-24B.24C.6D.+63 .已知直线(ax+y-6=0:x+(2)y+l=0相交于点P,若/J/,则点尸的坐标为。4 .求

7、证：不论“为何值，直线(EI)x+(2w-l)尸加-5都通过一定点。5 .已知两直线:x+8y+7=0和/2：2xy-1=0.(1)求八与/2的交点坐标；(2)求过人与/2交点且与直线x+y+1=0平行的直线方程。课堂小结r求两条直线的交点I两条直线的交点坐标-Ll判断两条直线的位置关系I参考答案：知识梳理二、小试牛刀1.解析：解方程组x+y=5,得F=4,因此交点坐标为（4,1）。ix-y=3,Iy=L答案：B【学习过程】例L解法一:x+y2=0,y+4=0,解得即直线/过点（-1,3）o3-2交。3所以直线/的方程为），-3=1（x+l）,即3-2y+9=0.法二：因为直线x+y2=0不与

8、3x2y+4=0平行，所以可设直线/的方程为xy+4+人（x+y-2）=0,整理得（1+2）a*+（z1）y+42A0,因为直线I与直线3-2+4=0平行，b,l+A2-1421所以一一=24，解得丸=5，所以直线I的方程为/一多+=0,即3x2y+9=0.跟踪训练1解解方程组4x+y=14,fx=4,0,1。，得(a-2 a 2.这表明直线人和/2没有公共点，故人/2.答案：(-|，2)例3思路分析：(1)设所求直线方程为x+2y-2+2(3x-2y+2)=0,再将二l,尸0代入求HA,即得所求直线方程。(2)将直线方程改写为Hy1+(+2)=0.解方程组/y=得直线所过定点。解：(1)设所

9、求直线方程为x+2y-2+7(3x-2y+2)=0.丁点P(1,0)在直线上，,：12+2(3+2)=0.：丸=，。：所求方程为x+2y-2+(3x-2y+2)=0,BPx+J-1=0.(2)由(4-1)x-y+2g-l=0,得-x-y-l+。(x+2)=0.所以，已知直线恒过直线*y-l=0与直线x+2=0的交点。解方程组叼得=2(%+2=0,Iy=I.所以方程(-I)x-y+2-l=0表示的直线恒过定点(-2,l)o跟踪训练3解析：(方法1)解方程组产”+3+8=0，得交点为(/,.2)又直线/-y-l=0,经过原点，由两点式得其方程为喂=%,即2x-y=0.-2-0-1-0(方法2)设直

10、线/的方程为2x+3y+8+l(x-y-l)=0,因其过原点，所以8+()=0,=8,直线/的方程为2?)=0.答案：B例4思路分析：求点A关于直线/的对称点4求反射光线所在直线的方程T求入射光线与反射光线的交点坐标一求入射光线所在的直线方程解：设点A(2,3)关于直线/的对称点为4(次，yo),rz+xo+3+yo+1=0,u=1,U-2解之，得4(4-3)。由于反射光线经过点A(-4,3)和B(1,1),所以反射光线所在直线的方程为1=震(X-1),即4x-5y+l=0.解方程组产5y+1=，得反射点P(gU+y1=0,33所以入射光线所在直线的方程为y-3=兰(x-2),即5x4y+2=

11、0.跟踪训练4解：把A,B两点坐标代入y=2r知，A、B不在直线y=2x上，因此y=2x为角C的平分线，设点A(-4,2)关于y=2x的对称点为Aymb),则kAA,=线段AV的中点坐标为(三，詈)，-2_1_一二:解得：=：.：4(4,-2),=2T,S=27y=2x是角。平分线所在直线的方程，：4在直线BC上，,：直线BC的方程为咨=M即3x+y-10=0,由P=2刈解得=1+234(3x+y-10=0,Iy=4,4)。金题典例解：分析一：设出直线的方程，求出交点的坐标，再用中点坐标公式。解法一：若直线斜率不存在，则方程为1=3.?，得A(3,4)。,2x-y-2=0,得B(3,-6)。%

12、+y+3=0,由于4+(-6)=-l0,：P不为线段AB的中点。若直线斜率存在,设为Z，则方程为y二女(x-3)oy= k (X-3), ,2x-y-2 = 0,得A(誉，普)。y= k (x-3),+ y + 3 = 0,得5(鬻，捺)。TP(3,0)为线段AB的中点,3k-2, 3k-3 z1= 6, k-2k+14k 6k n=0.k-2 k+1 ：Z=8.2k-16= 0,Ak2Sk = 0.:所求直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.分析二：设出4(x, ),由尸(3, 0)为AB的中点，易求出B的坐标，而点B在另一直线上，从而求出入、片的值，再由两点式求直线的方程。解法

13、二：设A点坐标为G,yJ,则由P(3,0)为线段AB的中点，得B点坐标为(6%,)。7点A,B分别在己知两直线上，.产2=。，解得中、(6-x1)+(-y1)3=0.Iy1=0 ：A管,y)o:,点A,尸都在直线AB上， ：直线AB的方程为泮=*,V0V3BP8x-24=0.分析三：由于尸(3,0)为线段AB的中点，可对称地将A,B坐标设为(3+,b),(3-,-Z?),代入已知方程。(2(3+)-b-2=0,.j=：3-a+(-b)+3=Jb=y0 ：直线AB的斜率即直线AP的斜率，值为:二=2=8.3+-3a ：所求直线的方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.点睛：解法三这种对称的设法需要在平常学习中加以积累，以上三种解法各有特点，要善于总结，学习其简捷解法，以提高解题速度。解法三：.P(3,0)为线段AB的中点，,：可设A(3+a,b),B(3-小功)。7点A,3分别在已知直线上,【达标检测】1 .解析：解方程组产+、+8=0,得，=9即交点坐标是(910)。Ix+y-1=0,(y=10,答