导数计算电路.docx

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1、下面介绍一种导数计算电路相关资料见：链接:https:DarLbaidU.comsIDnNJZS3ZrdBVZPIb8uODq?DWd=56kc提取码:56kc链接:https:Ddn.baidu.ComslsYAtiPTGKYOixhqGNqYWYq?DWd=84VD提取码:84ypl导数计算电路Jhttps:WWWsbTmBHfS2aRs微云文件分享:导数计算下我地址:https:SharhttDssSWnol5o36zv?DaSSWord=b7a4#导数计算电路访问码:b7a4推导过程参见微积概要国立中山大学学院院长何衍睿，李铭槃，苗文绥，合编,1935年版，商务印书馆出版，3.简单函数

2、之引数m1.x之引数(其一)首设m为正整数，则依二项式定理得，mmmm-12m-2mm(x+h)-xx+mhx+m(m-l)hx2+.+h-xhh即mm(x+h)-xm-1m-2m-1=mx+m(m-l)hx/2+.+hhmmm-1mm-1当h趋近于零，(x+h)-xh之极限为mx,故X之引数为mx(其二)次设m为正分数pq,就中p,q为正整数，令p/qp/q(x+h)=X,x=A,则，p/qp/q(x+h)-xX-aX-A1hhhq-1q-2q-1X+AX+A当h趋近于零，p/qp/qppX-A(x+h)-xp-1=之极限为PX(因P为正整数).hh又X之极限为A,故q-1q-2q-lP(q

3、-l)qX+AX+A之极限为qA=q由是，p/qp/qP-I(x+h)-xpxpp-1hP-PqqPmm-1而X之引数仍为mx(其三)更设m为负有理数，令m=-u,则U为正有理数。而,mm-(x+h)-X(x+h)-Xl(x+h)-lxhhh即，mm(x+h)-X(x+h)-X1hhX(x+h)当h趋近于零，mm(x+h)-XU-1之极限为HX(因口为正有理数),hu而(x+h)之极限为X,故mm-1(x+h)-X-x-l之极限为=-xh2m-1mm-1是亦mx也。综上所述，如m为有理数，则X之引数为mxm如X为无理数，则当x0时，X为X之函数，其引数与前所得者无异，将于第5节第5目求之。X2

4、.a之引数，兹求,x+hxxha-aa*a-1hhh于h趋近于零时极限。a之极限为1(见第一章第2节第9目)。h令a=l+a,并以Iog表e底之对数，则hloga=log(l+a)zWh=log(l+a)logaz故hXa-1Xaa*=aIogahog(l+a)当h趋近于零，则a亦趋近于零，而og(l+a)之极限为1遂知a之引数为,XaaIoga=logeaxx特端一一a=e,e之引数为e.3.ogX之引数alog(x+h)-logXaa1x+h1hIoghhaxhax令hx=a,即h=ax,则有log(x+h)-logXaa1111/a=-log(1+3)=log(l+a)hXaaaVa当h

5、趋近于零，a亦趋近于零，而(l+a)之极限为e,故1/alog(l+a)之极限为xa11loge=xaloge此乃logX之引数也。特端a=e,logx之引数为Vxza4.cosx之引数cos(+h)-cosx2sin(h2)sin(x+h2)hh以h/2替代sin(h2),则上式右边化为-Sin(X+h)，而其极限为-Sinx,故COSX之引数为-SinX5.sinx之引数sin(x+h)-sinx2sin(h2)cos(x+h2)hh以h/2替代sin(h2),则上式右边化为COSX,即是sinx之引数也。6 .tanx之引数tan(x+h)-tanx1sin(x+h)sinxhhcos(

6、x+h)cosx1sin(x+h)cosx-sinxcos(x+h)hcosxcos(x+h)sinh1hcosxcos(x+h)2因sinh/h之极限为1,而CoS(X+h)之极限为cosx,故tan之引数为Vcos7 .反函数之引数，定理一一设y=f(x)与x=4(y)互为反函数，如第一章第1节第2目所定者，又设XN为X与y之对应值，当X=X时，如函数f(x)有异于零之引数F(X)，0000如函数f(x)有异于零之引数f(),盖因，0y=f(L=(y)，0000故与X以增量h,y即有增量k与之对应。00合于y+k=f(+h),及X+h=(y+k),OO00遂得(y+k)+(y)h00kf(

7、x+h)-f(x)00当h趋近于零时，上式右边之极限为lf(x),而k亦同时趋近于零，以y为X之连续函数故也。由是h趋近于零时，(y+k)+(y)00=之极限力”)等于Vf,(),无论X为间隔(a,b)内之任何值,k若f(x)恒有不为零之引数f(x),则,(y)=Vf(),如以y表f(x),x表4(y),即可将上式书为x=Vy或y=VxXyyXxy下列数目用本定理以求反三角函数(InVerSeTrigenomotrioFUnCtiOn)之引数。8 .arccosx之引数由y=arccosx之关系，即有X=CoSy,故x=-siny,而，Yy=lx=-lsinyy今因,siny=l-cosy就中

8、代表1,其号与Siny之号相同，遂得y=此乃arccosx之引数也。上列所得之结果，可明之如次，任与X一值X,则y之对应值为2knz,就中k为整数，0而Z为等于arccosx之任一值，故y之引数=z之引数，此引数视Siny之号而定。0若设y在区间2k兀,(2k+l)町内，且令X在间隔(-1,+1)内。则任与一值x,即得一值y与之对应，并以一值为限。反言之任与一值y,亦得一值X与之对应，并以一值为限。在此条件y与X互为反函数。9 .arcsinx之引数y=V=lcosy=/1-siny=/1-xXyJJ就中代表1,其号与cosy之号相同。此结果可做前目解释之。又arcsinx之引数与arccos

9、x之引数有相同之绝对值，此刻直接证明，盖令u=arccosx,v=arcsinx,则X=COSU,x=sinv,而,cosu=sinv,即有COSU=COS(n/2-v),故，u=2k兀(n2-v)=av(a表常数)，可见u=v10 .arctanx之引数由y=arctanx,得x=tany而222y=Vx=Cosy=V(l+tany)=l(l+x)2故arctan之引数为1/(l+),已与X值X,则y之值为kn+z,就中k为整数。而Z表arctanx之任一值，00此各值k”+z不通过常数之差，故y之引数相同。4.函数之函数之引数设U为V之函数，其关系以UE(X)表之，又设y为U之函数，其关系

10、则以y=6(u)表之，任与一值X,即得一值U与之对应，而此值U亦有对应之值y,故任与一值X,可得一值y与之对应,即y与X之函数,该函数名为函数之函数(FUntiOnFUnCtiOn).2.引数之求法设U对于X有引数u,而y对于U有引数y,则y对于X有引数y=y*uXUXUX盖令X=X时，u=u,y=y,000而X=X+x时，u=u+u,y=y+u0,即有000AyAyAu=(1)AxAuAx兹就X=X时u之值(u)异于零与否，分究如次。0XX0(其一)设(u)#0,则当IAxI小于一正数a时，Au异于零，故可应用式得y=yXUX(其二)设(u)=0,今与X以一列趋近于零之数值，即得为零或不为零

11、之对应增量八u,X0如Au异于零，则可应用式而有式之结果。如Au等于零，则y随之为零，而八yx以零为极限。故无论在何情形，公式y=y*u恒能成立XUX3.例设sety=cos3x,试求y令u=3x,贝!jy=cosuz而y=yu=-sinu*3=-3sinu=-3sin3xXUXsinx设y=a,试求yXXusinx令SinX=U,则y=a,而y=y*u=a8loga*cos=a*loga*cosxXUX4.推广做第2目之推理可得结果如下：设u=f()zv=(u)zw=(v),y=g(w),且U对于X之引数为u,XV对于U之引数为V,W对于V之引数为W,UVW对于V之引数为W,y对于W之引数为

12、y,VW则y对于X之引数为y*w*v*uWVUX例一设4/y=/arcsin()试求y.令U=Xa,v=arcsinu,y=vX贝IL=yy1 -芈11=4/半V9-xarcsin（x）（=1,其号与COSV之号相同）V5.u之引数V设U,V为X之函数，其引数为U,V,今求y=U对于X之引数。V v*logu由y=u,得logy=v*logu,即y=eZZ如令z=v*Iogu,则y=e而y之引数y=e*z（z表Z对于X之引数）.vlogu但z=vlogu+v*uu,故y=e（vlogu_v*u/u）即V v-1y=uvlogu+vuumm-1特端如u=x,v=m（m表常数），则X之数为mx（参

13、阅第3节第1目）。V由此可见y=u之引数为下列两引数之和：（其一）数u为常数所得之引数（参阅第3节第2目）.（其二）设v为常数所得之引数（参阅本目之特端）计算积分的Sinxcosx型积分公式由上面推论得到cos=sinx+csinx=cosxsinx设t=cosx,根据公式：Vv-1y=uvlogu+vuu所以，sinxsinxsinx-1(cos)=cosx*cosx*log(cosx)+sinxcosx(-sinx)(sint)=cost*tsinxsinxsinx-1=cos(cost)*cosx*cosx*log(cosx)+sinxcos(-sinx)cosx(sint)j55=5cosxsinxsinxsinx-1fCOSXQCOS(COSt)*cos*cos*log(cosx)+sinxcosx(-sin)sinxsinxsinxsinx-1fCoSXQCOScos(cosx)*c