1.1空间向量及其运算典型例题.docx

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1、1.1空间向量及其运算典型例题考点1：空间向量的有关概念1 .在平行六面体48C。-AIAGA中，与向量4。相等的向量共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】由图形及相等空间向量定义可得答案.【详解】由图，与向量Ao大小相等，方向相同的向量有AA,6,8C共3个.2.下列关于空间向量的说法中正确的是（）A.方向相反的两个向量是相反向量B.空间中任意两个单位向量必相等C.若向量I祠西满足网CD,则A8COD.相等向量其方向必相同【答案】D【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可.【详解】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误;单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B错

2、误；向量不能比较大小，故C错误；相等向量其方向必相同，故D正确；故选：D.3.（多选）下列说法错误的是（）A.空间的任意三个向量都不共面B.空间的任意两个向量都共面C.三个向量共面，即它们所在的直线共面D.若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面【答案】ACD【分析】A画图举例判断；B.利用相等向量判断；C.画图举例判断；D.画图举例判断;【详解】A如图所示:a he三个向量共面,故错误;B.由相等向量知：通过平移，两个向量的起点总可以在同一点，故两个向量都共面，故正确;C.如图所示:D.如图所示:故选：ACD考点2：空间向量的加减运算4.：(4+26-33)-3(-27-Ci)=()5 r,

3、 35-9C. a+b+-c D. a-5bc55彳，CA.。一4。B.a+4b-2c22【答案】C【分析】根据向量的线性运算求解即可.【详解】；（a+2Z?-3c）3（a26c）=；a+7+；c.故选：C5 .设A、B、C、O为空间中的四个点，则AO=4B+AC”是4、B、。、。四点共圆”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】D【分析】根据共面的性质，结合空间向量的加法和减法的几何意义、充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】由AD=AB+ACAD-AB=AC=BD=AC当A、B、C、。四点在同条直线上时，A,3,C。四点不共圆，若A、B、。

4、、。四点共圆，当ABC。是矩形时，此时ACBD为圆的宜径,满足AO=48+AC，而当ABCO不是矩形时，显然4C，8。不是圆的直径，此时4）wA8+AC故选:D考点3:空间向量的加减运算的几何表示6 .如图，在四面体048C中，0A=aOB=b，Od=点M在OA上，且满足OM=3M4,N为BC的中点，则MN=（）【答案】D【分析】根据空间向量的加法和减法的三角形法则得到.【详解】如图，连接ON,QN是BC的中点，ON=TB+gC,3OM=3MA-OM-OA,41113.311.MN=ON-OM=-0B+-0C-0=-a+-b+-c.224422故选：D7 .如图，在平行六面体ABC。ACTy中

5、，设A6=,AD=b,AAf=c则下列与向量Ae相等的表达【答案】DD. a + b-c【分析】利用空间向量的运算法则计算即可.【详解】对选项A：-a+c、=8A+4O+AA=8D+O=8Z5，错误：对选项B：d-b+c=AB-AD+AA,=DB+BB,=DB,错误；对选项C：a-b-c=AB-AD-AAf=DB-DDt=DfB，错误；对选项D：d+b-c=AB+AD-AA,=A,A+AB+BC=A,C正确.故选：D考点4：空间向量的共线的判定8 .下列命题中正确的是（）A.空间任意两个向量共面B.向量d、b、3共面即它们所在直线共面C.若ab,6c，则d与C所在直线平行D.若则存在唯一的实数

6、/，使d=【答案】A【分析】根据共面向量，共线向量的定义判断.【详解】空间任意两个向量都能平移到同一平面内，因此它们共面，A正确：空间三个向量指能平移到同一平面内，而不是指表示它们的直线在同一平面内，B错；若4/，力/c，但当加=G时，与C不一定平行，因此它们所在直线也不一定平行，即使两个向量平行,它们所在的直线也可能是同一直线，不一定平行，C错；若&/，当=O时，不存在唯一的实数2,使=,D错.故选：A.9 .（多选）如图，在三棱柱A8C-AqG中，P为空间一点，且满足BP=4BC+4%,l,则（）A.当2=1时，点P在棱上B.当=1时，点P在棱BC上C.当义+=1时，点P在线段5。上D.当

7、4=4时，点P在线段BG上【答案】BCD【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可求解【详解】当2=1时，BP=BC+BB所以CP=期，则CP/g，即P在棱CG上，故A错误；同理当=1时，则B/8C,故P在棱BC上,故B正确；当4+=1时，-y所以BP=NBC+（1九）BB-即BlP=AB0,故点P在线段8。上，故C正确；当；I=时，BP=BC+Bi）BC.,故点P在线段8G上，故D正确.故选：BCD.考点5:空间向量共线求参数或值10 .若空间非零向量印耳不共线，则使2七-与4+2伏+1）共线的A的值为【答案】-05【分析】由题存在实数J使得Mq-%=%弓+2（%+1）4，解相应方程可得答案.【

8、详解】由题意知，存在实数7使得2h-4=e+2（2+1）42k=,1即24八1）=一1=4公+软+】=0，解得*=一1故答案为：-;APA1C31111.在平行六面体ABC。AqG。中，点尸在AC上，AP=-AAy+-AB+-ADf则4441312A.-B.-C.-D.3443【答案】C【分析】利用空间向量基本定理，结合空间向量加法的法则进行求解即可.311111【详解】因为AP=AA+AP=44+1AAA3+WAo=WAA+A8+aAO,A,C=AyA+AB+BC=AiA+AB+AD,所以有AP=因此算=J,4AiC4故选：C考点6：空间向量的共线定理的推论与应用12.如图，在ABCo中，点

9、、M,N分别是棱ARC。的中点，则加力+网TBQ+3Cj化简的结果是（）A.CAB.ACC.NMD.MN【答案】C【分析】由中点的向量公式与向量的减法运算即可得到答案.【详解】如图所示，连接BM,BN,因为M,N分别是棱ARCD的中点，所以*BD+BA）一;（BD+BC）=BM-BN=NM.故选：C.13 .向量。=（4，%生）与非零向量=（也也）平行的充要条件是（）a_halayaiaPrMb彳下孩C.存在实数上使+kB=OD.存在实数上使Q=Ab【答案】D【分析】利用反例或共线向量定理可得正确的选项.【详解】如果=(2,2,2)*=(-2,-2,-2),则由=(IJI),而=(TTT),a

10、hR二M不成立，故A错误,如果=(2,2,0),A=(IJO),贝必=,故&。平行，但产治二不成立,因为？无意义，故B错误.对于C,a+k=O不成立，因为a+女是向量，而。是实数，故C错误.对于D,由向量共线定理可得:向量=(,生)与非零向昂力=伍也也)平行等价于存在实数A,便=奶,故D成立，故选：D.考点7：判定空间向量的共面14 .下列条件能使点M与点A8,C定共面的是()A.OM=OA-OB-OCBOM=OA+OB+OCC. OM=-OA-OB+-OC2D. OM=-OA-OB+3OC【答案】D【分析】根据空间共面向量定理以及其结论一一判断各选项，即可得答案.【详解】设OM=XoA+yO

11、4+zOC,若x+y+z=l,则点KAsC共面.对于A,OM=OA-OB-OC由于1一IT=TW1，故A错误；对于B,OM=OA+O8+OC，由于1+1+1=31,故B错误；对于C,OM=-OA-OB+-OC,由于-1一1+=工1,故C错误；222对于D,OM=-OA-OB+3OC由于T-l+3=l,得M,A,8,C共面，故D正确.故选：D.15.如图，在长方体ABCD-AFCTy中，向量AQ，AzX，而是向量（填共面或不共面）.【答案】共面【分析】根据空间向量的运算法则化简得到AB,+BD=Ao，即可得到ABADBD是共面向量.【详解】由空间向量的运算法则，可得49+8Ty=AD,又由8O=

12、3Z,可得AH+BD=4。，所以A*,ADBD是共面向筑.故答案为：共面.考点8：空间向量的共面求参数16.已知点。在确定的平面内，O是平面A8C外任意一点，实数满足。=XoA+），08-0。，则W+/的最小值为（）4 O/sA.-B.C.1D.25 5【答案】D【分析】根据共面向量的性质，结合配方法进行求解即可.【详解】因为OO=XoA+.yOB-OC,点。在JlBC确定的平面内，所以x+y-l=,即x=2-y,所以2+y2=（2-y）2+y2=2y2-4y+4=2（y-l）2+22,所以当y=l时，f+y2的有最小值2.故选：D17 .已知向量，b，。是空间向量的一组基底，AB=2a+b，

13、AC=a+cAD=b+c，若A,B,C,D四点共面.则实数/1的值为.【答案】-2【分析】根据点共面可得向量共面，进而根据平面向量基本定理即可列等式求解.【详解】由于A,B,C,。四点共面，所以存在唯一的实数对x,y,使得A。=XAB+yAC,即b+Ac=x2a+b+y(a+c)=(2x+y)a+xb+yc,2x+j=0所以=-2,=y故答案为：-2考点9：空间向量共面定理的推论与应用18 .已知。为空间任意一点，A8,C,尸四点共面，但任意三点不共线.如果5P=QA+OA+OC,则机的值为()A.-2B.-1C.1D.2【答案】A【分析】由题设条件推得。P=m。4+2O8+OC，再由四点共面

14、可求得?=-2【详解】因为BP=OP-OB，所以由BP=mOA+OB+OC得。尸-08=mOA+08+OC，即OP=QA+20B+0C，因为。为空间任意一点，AB,C,尸满足任意三点不共线，且四点共面，所以z+2+l=l,故机=一2.故选：A.19 .下列命题中是真命题的为()A.若P与。,6共面，则存在实数元儿使P=Xa+泌B.若存在实数尤几使向量P=Xa+yb,则P与力共面C.若点P,M,43四点共面，则存在实数苍儿MP=xMA+yMBD.若存在实数匕儿使MP=XMA+y,则点P,M,48四点共面【答案】BD【分析】根据平面向量基本定理以及空间向依基本定理，可知B、D项正确；：&、?，则A结论不恒成立；若M,AB三点共线，则C项结论不恒成立.【详解】对于A项，如果溥共线，则私+皿只能表示与共线的向量.若P与/不共线，则不能表示，故A项错误；对于B项