已知奇函数f.docx

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已知奇函数f已知奇函数$f(x)$满足$f(x+2)=-f(x)$,且当$0X1$时,$f(X)=X$O(1)求$&)$在区间$0,3$上的表达式；(2)判断函数判断)$在$(0,1)$上的单调性,并给出证明；(3)若$=f(log_fracl23)$,求实数$a$的值。(1)解:由于$f(x+2)=-f(x)$,我们可以得到：$f(x+4)=-f(x+2)=f(x)$这说明函数$f(x)$的周期为4。当$0X1$时，$f(x)=x$o当$-1X0$时，由于$f(x)$是奇函数，所以有：$f(X)=-f(-X)=-(-X)=x$因此，在区间$0,1$上，函数表达式为：$f(x)二begincasesx,&0x10,&x=O-x,&-1xOendcases$由于函数周期为4,所以在区间$0,3$上的表达式为：$f(x)二begincasesx,&Ox1O,&x=O,1,2,3-+4,&TxOendcases$(2)解：设$0x_lx21$,则有：$f(x2)-f(x1)=x2-(-1)=x2+x1$由于$0x_lx_20$因此，函数在$(0,1)$上是增函数。解：由于$log_fracl23in(0,1)$,所以:$a=f(log_frac123)=log_frac123log_23$