专题1-10数列放缩通项证明不等式与数列不等式恒成立问题（解析版）.docx

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1、专题IlO数列放缩拆分练习与数列不等式恒成立问题胸回O求和后放缩三三放缩通项再裂项相消求和三s放缩成等比数列朝根式的放缩三s跳过第一项再放缩求和利用重要不等式放缩s三通过糖水不等式进行放缩型不放缩后错位相减求和Mfe数列恒成立问题数列通项放缩问题是放缩问题的常考类型，相较于求和之后再比较大小的题型而言，这一部分对放缩对象的处理需要一定的技巧，因而对很多学生来说具有挑战性，是数列放缩中的难点.此节中，我将分为如下几个点展开：第一，将通项放缩为可裂项的结构，然后裂项求和：第二，将通项放缩为等比结构(等差比结构)然后错位相减求和，总之，处理的基本原则就是将不可求和放缩成可求和再求和放缩.当然，下面的

2、这些常见的裂项公式与放缩公式需要注意.I.常见的裂项公式：必须记111,212例如：-或者I-r=-c=-(a-b)an-xt就放缩出一个等比数列.3 .糖水不等式分子分母同加常数：(baO,m0),(b0,m0)aa+maa+m常见放缩公式：（太多了，不一定要全部记，自行选择）一、等差型1 1II/小(1)-1PJ-=-7一(2);n(n-)nn-n2 111=n2n(n+)nn+,、I44(11(3)-T=I一=2I一n24n24w2-12w-l2w+lEil加Il1II/c、(4) KJ/=而切i7n - 1“2); yn2 n + yn n2 nn -1 + (n - 1)w J( (

3、五 + yn-三、指数型2n(10) (2-l)2 (2-l)(2rt-l) (2-1)(2-2) (2n-l)(2,1-1)112w, -1 2n -1( 2 2):(11) (1 + ：1+1+13；1223(w-1)_22_2_(12)亚丁(1+1)-飞+0；+_=(+1)二厂才；2T11_z)(13)2n-(2n-1)(2-1)2,-12-1此,(14)2(77+1-4n)=-I-r4-Il=2(4n-Jn-).?+1+ynz+h-1酗O求和后放缩1.已知=4x3T,设f = l0g3筌,看为数列2+，的前项和.证明：lq2【解析】 = iog3 = iog3r=w,所以1一一三1,即

4、（2,是单调递增数列综上，7L2.1_1-1I111anan.(2w-1)(2w+1)21-12/z+lJ,2.已知“=2-1为，证明:+，/36出a2aianan,2【解析】I1IIjIIlI1、1。1、11axa2a2ayanan2(3352-12n+lJ22n+l)22(2+1)I111随着的变大，万一1而TD变大，故当二1时，y2Q.+i)取得最小值11111I最小值为万一=,JL2-2(2/?+l),证明：7；1.【解析】bn=-=t_12n=尹+K+而,ITl2n27=2+2t+,+27t,两式相减得=*+摄+击一券，ZTII1fl所以I=初+齐+广1714n,1n,n+2,产=1

5、万=1因为欣所以+，+，+3+24+3-5+4-6hIlll4n-1+1n+2,M1+r-TMT4vh;1I+2+w+12+32+22因为1+I=1IJ=T+1+2(+1)(+2)(+1)(+2)(w+l)(w+2)n+2f3Ifl1131231=.42+1+2J42n+24n+2豳照放缩通项再裂项相消求和5.已知。“二+1,若数列图的前项和为小求证：7；|.【详解】证明：由（D得q=+1（N*）,.1二1二4.4二4_rj1!_所以f=e+l)2=4(+l)2an+1-ln+12【详解】Tn =aya2anX =2 3 n+1 n+l所以s“=(2+7L2二W+110.已知%=二,若b.=a

6、i-att, S”为。的前项和，证明：12S,+=+=2334(11+1)(+2)2334n+r+22n+2所以S,/+1-5.7 .设%=l+f*+1,N2.求证:ank(k-),k2(只将其中一个左变23n23n成一1,进行部分放缩)，27t=17一),K,k(k-1)-1于是.l+*+*+l+(l-g)+(g4+(=-5=2一42.,1rs3.己知为二2-1,设=7=,数列4的前项和为求证：Tn-1.11解：S.，”=(21)户而FA=I1.111I(Il)可知当“2时，nn(2n-n(2n-2)2(-1)211三n)=Ih1I4/_!qn(+2)2(+2)(+3)n+2n+3)Ien+

7、2224w33+1312所以，当GN时，-Snan+i-.211+2n+l2rt+2n+3解析.=,bn=：_4=-=-：-Ti1=-；-：,w,I.Sfj2，3，nn,n2+_32+_32_32_3.N2+1-30,.h=：X：O,/.SS.=h.=12f24,S,=Z,+=12+-15,21225.12S15.)n1711 .已知数列a”=.?,设G=一,求证：c1c2+cnn1解：思路：C=-,无法直接求和，所以考虑放缩成为可求和的通项公式（不等号：0,片=1+飞,数列2的前项和为7；,证明：Tnn+.,2【详解】Sn=心则ST=S+I)?,=171=F则“里卢, n2 +2/? + 3

8、.D -1 =W + 1(zi + 1)2( + 1)yn2+2n+3-(+1)-1=(+1)y(n+1)+2+(z+11117(+1)2n+1Tn=hi+h2+-+bnn+-/?+1+lS放缩成等比数列13 .(2014全国2卷)已知为=1,证明：-+-.1211解析：-=ft,因为当附3T2b,所以fihF1111于是一+ a a2 %11 1-+ r+ H-=3,31 2 33m,1-上=-i3ULx 1.2 3”2所以1111./a2%an2注：此处3-l23-便是利用了重要的恒等式：次方差公式:231当然，利用糖水不等式亦可放缩：=i-,请读者自行尝试.3-133n13n+1 +314.已知%=Ft211111证明：-+-+7%a2%3【详解】121212=X=33+l333+,所以 L+_L+，+2 2 2=-1：,L2an4x3“3“3”3n,J(an-2)%3一433一3(23n-2)2(3-I)2(3-l)(3-3)(3-1)(3T-I)1 z11、=(一)2 3T-13o-所以4+4+4+g(-)+;(七-/)+.+T(F=Im)TT忌XL16.记q=3-1,证明：一+,+O,33-13n(3-l)3rt(3n-l)【分析】当=1时，验证所证不